Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Движущаяся точка находится под действием только двух сил: реакции mN и силы веса, равной mg; поэтому уравнения движения (после сокращения на общий множитель т) будут:
х
У
z
I '
I ’
а проекции mN:
mN j , — mN -у
(1)
К ним нужно присоединить соотношение: X2 4- у1 22 — Р.
(2)
Глава VI. Движение несвободной точки
Таким образом, имеем четыре уравнения для определения четырех неизвестных х, у, г, и Л/ в зависимости от времени.
Самым простым случаем будет тот, когда начальная скорость лежит в вертикальной плоскости, проходящей через О, например в плоскости гу. Тогда начальные
значения х и ^ равны нулю. Первому уравнению удовлетворим, полагая х = О, два другие уравнения определят у и г. Движение происходит в вертикальной плоскости, и мы приходим к случаю простого маятника. Мы можем поэтому исключить этот случай, уже рассмотренный выше.
160. Интегралы живых сил и площадей.—Легко получить в рассматриваемом случае два первых интеграла уравнений движения: интегралы живых сил и площадей.
Так как работу производит только сила тяжести, то теорема живой силы даст уравнение
v2 = 2gz-\- h, (3)
где h есть постоянная живых сил.
С другой стороны, в этом случае применима теорема площадей к горизонтальной плоскости ху, так как вес (параллельный Ог) и нормальная реакция (пересекающая Ог) имеют равнодействующую, пересекающую ось Ог. Обозначим через 6' площадь, ометаемую проекцией радиуса-
вектора ОМ на плоскость ху; интеграл площадей будет:
-§=2'1С1>°. <4>
где С есть постоянная площадей. Эта постоянная не равна нулю, так как случай простого маятника исключен.
Уравнений (2), (3) и (4) достаточно, в силу исключения N, чтобы найти х, у, г в зависимости от t; следовательно, эти уравнения определяют движение.
161. Нормальная реакция. — При помощи интеграла (3) живой силы можно показать, что реакция N зависит лишь от г и от постоянной h живых сил.
198 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Сложим уравнения (1), умноженные соотвественно на х, у, z) принимая во внимание уравнение (2), получим:
где сумма 2 распространяется на три координаты.
С другой стороны, если продифференцировать два раза по t уравнение (2), то получим
Из двух полученных уравнений имеем я I z , V2
N-ST+-T-
Эта формула выражает для нашего частного случая общее правило, данное в конце п° 157. Она показывает, что N не может обратиться в нуль, если-г положительно, т. е. пока точка движется ниже экватора. Если заменить величину v2 ее значением 2gz-\- h из уравнения (3), то получим:
N==?Kz+JL . (5)
Эта формула выражает теорему, высказанную в начале п°.
162. Бесконечно малые колебания сферического маятника. — Прежде чем рассматривать задачу в общем случае, следует изучить случай, когда угол между нитью ОМ и вертикалью остается все время очень малым. Мы будем предполагать этот угол настолько малым, чтобы можно было пренебречь квадратами отношений х:1 и у:1 по сравнению с единицей. При такой степени приближения имеем, в силу уравнения (2),
Глава VI. Движение несвободной точки
199
поэтому, с тою же степенью приближения, N остается постоянной в силу формулы (5). Далее, последнее из уравнений (1), с тем же приближением, можно написать в виде:
Отсюда заключаем, что g=N, так как г все время остается близким к /, и производная ~ не может возрастать неограниченно вместе с t.
Движение проекции точки М на плоскость ху определяется в этом случае, с тем же приближением, двумя уравнениями:
Это уравнения движения точки, притягиваемой к неподвижному центру О силой, пропорциональной расстоянию и равной по величине А2г, где k2 = g:l. Общие интегралы этих уравнений будут (п° 136):
Траектория точки [а есть эллипс.
Возьмем ось л; в направлении наибольшего радиуса-вектора г0, который будем считать начальным, и пусть начальная скорость v0 (перпендикулярная к радиусу) будет параллельна оси у. При этих начальных данных получим:
г0 — А, В — О, Ау — 0, v0 = kBy.
Уравнения траектории, которая в этом случае будет отнесена к своим осям симметрии, получат вид:
N, откуда j-t = (g— N) t + С'
200 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Продолжительность 2Т полного обращения точки по эллипсу будет
Она равна, таким образом, периоду бесконечно малого колебания простого маятника той же длины. Если т'0 = 0, то движение сферического маятника приводится к движению простого маятника и очень мало отличается от последнего, если скорость v0 мала.
163. Уравнения движения в цилиндрических координатах. Приведение интегрирования к эллиптическим квадратурам.— Пусть г и 0 — полярные координаты проекции [jl точки М на плоскость ху. Тогда
Уравнения (2), (3) и (4) (уравнение сферы, интеграл живых сил и интеграл площадей) принимают в цилиндрических координатах г, 0 и z вид:
