Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
ъ
с
Г 1 dz п
J Y{* — bj(?-c) l + z У (/+») (l+c) •
ъ
так как эти интегралы приводятся соответственно подстановкой = к классическому интегралу
du
J У (и — a) (ft — и)
а
Заменяя в правой части ® значениями, полученными из формулы (8):
— ? (/) = 2g (а -(- /) (1—Ь) (1-с),
— ? ( — l) = 2g 02-1) (/ + ») (/ + с),
найдем
20УТ+С = (У"я + / + Уа — О.
п Уй + /Уа — /
У^Т
при условии &<?<с.
Глава VI. Движение несвободной тоЧки 205
Приближенная формула (11) показывает, что 0 всегда
ТС
больше -j. Это видно непосредственно, так как />С, следовательно
С другой стороны, она показывает, что если С положительна, то 0 < тс, так как имеет место неравенство
Уа+7 -f Ya—7i< 2 ]/а<2 \/а -f С,
которое доказывается возведением в квадрат. Это условие (С>0) будет выполнено, если маятник колеблется, оставаясь под уровнем экватора сферы. Итак, если колебания происходят на нижней полусфере, то 0 остается меньше тт. Это заключение можно распространить и на случай С<0, но соответствующее доказательство было бы более трудным, поэтому мы не будем здесь его рассматривать.
165. Характер колебаний сферического маятника. —
Рассмотрим случай, когда колебания происходят на нижней полусфере. Точка М, отправляясь от своего верхнего уровня, опускается до нижнего уровня. В это время горизонтальная проекция ее радиуса-вектора Ojj. поворачивается
вокруг вертикали на угол 0, заключенный между и л.
Далее точка опять поднимается до своего верхнего уровня, между тем как ее радиус-вектор продолжает поворачиваться на такой же угол. В этот момент точка М не может оказаться ни в своем начальном положении, ни в противоположном положении на том же меридиане. После второй фазы, подобной только что описанной, точка второй раз возвращается к своему начальному уровню, причем проекция ее радиуса-вектора оказывается повернутой на угол 40, заключенный между 2тг и 4я. Таким образом, точка необходимо должна пройти мимо своего начального положения, и движение, вообще говоря, не будет периодическим или, самое большее, может допускать в качестве периода лишь промежуток, кратный продолжительности только что описанной фазы. Последнее
206 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
обстоятельство следует рассматривать как весьма частный случай рассмотренного здесь общего движения или даже как исключение из этого общего случая.
Рассмотрим теперь проекцию траектории на экваториальную плоскость ху\ это будет некоторая плоская кривая. Эта кривая не может иметь точек перегиба, если движущаяся точка остается на нижней полусфере. В самом деле, в точке перегиба мы имели бы
где С есть постоянная площадей. Следовательно, точка перегиба может быть в случае, если Л/= 0. Но выше мы видели (п°161), что N не может обратиться в нуль на нижней полусфере. Таким образом, движение проекции |х точки М на горизонтальную плоскость можно рассматривать как движение точки, описывающей овал, в то время как этот овал сам вращается в своей плоскости в ту же сторону, как движущаяся точка.
166. Частный случай. Конический маятник. — Может случиться, что сферический маятник описывает на сфере окружность, параллельную экватору; он называется тогда коническим маятником. В этом случае оба корня b и с равны друг другу и положительны. Так как многочлен <э (г) должен иметь двойной корень, то квадратуры (9) и (10) оказываются элементарными. Если предположить значения b и с (и, следовательно, Q бесконечно близкими одно к другому, то значение а становится равным (?2-j-/'2): 2b,
откуда
и в силу уравнений движения (1) (п°159):
N (xdy —ydx) ~ NCdt = 0,
Г лава VI. Движение несвободной точки
207
и формула (11) дает, в качестве предельного значения 0, величину
Движение конического маятника периодическое, но оно не представляет собою, как это видно, предела движения, стремящегося стать периодическим, так как 0 не стремится
ни к у, ни к 1Г.
В движении конического маятника ордината г, радиус г, скорость v и реакция N являются постоянными величинами. Можно непосредственно получить связывающие их соотношения, если заметить, что горизонтальная и вертикальная проекции N представляют собой соответственно центростремительную силу v2: г и силу g, равную и противоположную весу. Таким образом, если А есть угол наклона маятника к вертикали, то будем иметь
Продолжительность обращения конического маятника равна
Эта величина совпадает с полным периодом бесконечно малого колебания простого маятника длины z.
N sin А = у, NcosX = g, откуда, исключая N, получим:
гг2 = grtg\=I^-
ГЛАВА VII
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ § 1. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.
167. Предварительные замечания. — При выводе дифференциальных уравнений и различных свойств движения точки, которые мы изучали до сих пор, предполагалось, что рассматривается абсолютное движение, т. е. движение, отнесенное к неподвижным осям, виеденным нами выше. Во многих случаях возникает необходимость определять кажущееся, или относительное движение, отнесенное к системе отсчета, движущейся по отношению к неподвижным осям. Так, в том случае, когда мы изучали движение точки вблизи земной поверхности, мы рассуждали так, как если бы Земля находилась в покое, и рассматривали это движение как абсолютвое. Остается сделать следующий шаг и оценить полученное таким образом приближение. Общая задача заключается в построении теории движения точки относительно системы отсчета, движущейся в пространстве. Мы покажем здесь, как можно получить непосредственно уравнения движения точки относительно системы отсчета, движение которой задано.
