Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (1) могут быть тогда написаны в виде:
d2x , х п (, | х -С\ dy
'2й2 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Рассмотрим ещё один частный случай. Предположим,
что мы находимся на экваторе, где К — 0, sin К = О,
со.чА=1. Предыдущие уравнения приводятся к виду:
(I . ...fX q х dy
_г+Л/т=-2<от^г,
dly I ы'У г, х dx
+ ' 2сот —,
_!_ д/'JL dfi 1 /
Первому уравнению можно удовлетворить, полагая д: = 0; тогда движение в плоскости л: = 0 определяется двумя другими уравнениями, содержащими только у и г\
dt* ^ v / > I b‘
Эти уравнения представляют собой уравнения движения простого маятника в плоскости уг. Таким образом, мы приходим к следующему заключению:
На экваторе можно заставить свободный маятник колебаться в экваториальной плоскости, так что его движение будет совпадать с движением простого маятника. Но реакция N в этом случае будет отлична от реакции, соответствующей колебаниям простого мантника.
В самом деле, реакция была бы равна N', если бы не было сложной центробежной силы. Благодаря наличию этой силы реакция становится равной
Л/=ЛГ'-j-2(u соз К — .
1 z dt
Она оказывается увеличенной или уменьшенной в зависимости от направления движения: увеличенной в случае, когда у возрастает, и уменьшенной, когда у убывает (в предположении, что г > 0).
Возвратимся опять к уравнениям (5). Они могут быть
х
проинтегрированы в том случае, когда отношение — очень
Глава VII. Относительное движение точки 223
?
мало, так что можно пренебречь величиной — cos А по сравнению с sin X. Этот прием был бы вполне законен, если бы отношение было порядка о>2. Благодаря такому упрощению, уравнения (5) принимают вид:
dP-x , .х 0 . . dy
1. Лг— = — 2<о sin л -
dfi 1 / dt
dzz I ... 2
"Ж “f* T ~
Эти уравнения совпадут с уравнениями (3) движения маятника на полюсе, если заменить в последних <в на <о sin X. Это сводится к замене угловой скорости вращения Земли ее составляющей по направлению вертикали в данном месте. Отсюда приходим к следующему заключению:
Бесконечно малые колебания свободного маятника в точке Земли на широте X сотадают с колебаниями относительно неподвижных осей при условии, что движение отнесено к подвижным осям, вращающимся вокруг вертикали данного места, в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью <u sin X.
Таким образом, если начальные колебания маятника в каком-либо месте на земной поверхности происходят в вертикальной плоскости, то наблюдатель, находящийся в этом месте, увидит, что плоскость колебаний вращается с угловой скоростью OJ sin X в сторону кажущегося движения небесного свода.
Это явление вращения плоскости колебаний свободного маятника обнаружил в 1851 году Леон Фуко в своих знаменит лх опытах в Пантеоне, в Париже. Длина нити была 67 м, длина описываемой дуги 6 м, наибольшие значения отношений х :у и у\ г около , продолжительность простого колебания 16 сек; широта
224 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Парижа А = 48°58'. Продолжительность полного оборота плоскости колебаний должна была получиться на основании вычислений равной
о
—-- = 41 час 47 мин..
(« sin А.
что и было подтверждено опытами.
В опыте Фуко амплитуда колебаний не была достаточно мала, чтобы можно было с полной уверенностью применять изложенную теорию. Однако результаты этих опытов могут быть обоснованы более глубоким анализом
Ч А С Т Ь ТРЕТЬЯ
СТАТИКА
ГЛАВА VИГ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
§ 1. НАЧАЛА СТАТИКИ. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ
177. Статика. — Статика есть учение о равновесии тел она изучает условия, при которых тела, находящиеся под действием данных сил, остаются в состоянии покоя относительно системы отсчета, принимаемой за неподвижную; в качестве такой «неподвижной» системы чаще всего выбирают Землю.
Эта часть механики является, таким образом, лишь частным случаем динамики, поэтому все законы динамики могут быть применены и в статике. Однако статика получила свое развитие гораздо раньше учения о движении, так как для ее построения необходимы более простые основные законы. Она не использует понятия скорости и ускорения. Она может обойтись без измерения времени, без закона инерции и без определения массы. С другой стороны, чистая статика как учение о равновесии не делает никакого принципиальною различия между равновесием относительным и равновесием абсо 1ютным. Если оставить в стороне закон инерции, то различие, необходимое в динамике> между силами реальными и силами фиктивными становится искусственным, так как их статическое определение оказывается одинаковым: разница между этими силами появляется лишь при условии, содержащемся в знконе инерции, находить источник реальных сил, приложенных к да той материа 1ьной точке, в других материальных точках.