Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
42. Круговое движение. — Пусть точка М описывает окружность радиуса г вокруг точки О (фиг. 5). Положение движущейся точки определяется углом 0, который подвижной радиус ОМ составляет с неподвижной прямой
Ох; это г угол измеряется длиной дуги, вырезаемой им на окружности единичного радиуса. Предположим, чго дуга s отсчитывается от точки М0, где 0 равно Й0. Так как дуги пропорциональны радиусам, то будем иметь, если s и б отсчитываются в одну и ту же сторону:
5 = г (9 — б0), ds — rdf).
Фиг. 5.
Тогда значение алгебраической скорости будет
v — ¦
ds
и
db
dt
Глава !. Кинематика точка
41
43. Индекс и годограф движущейся точки.—Индексом движущейся точки М называют конец 1 вектора 01, геометрически равного вектору скорости v точки А1 и имеющего начало в неподвижном полюсе О. В качестве полюса индекса чаще всего выбирают начало координат. Если движение точки отлично от прямолинейного и равномерного, то ее индекс перемещается с течением времени и описывает некоторую кривую, называемую годографом точки М.
44. Ускорение. Проекции ускорения. — Определение. Пусть v и v' будут геометрические скорости движущейся точки, которая занимает положения М и Л/' в моменты t и t -}- At (фиг. 6). Отложим от
точки М вектор МН, равный геометрической разности v’ — V, или Av, *
Геометрическое отношение
МН_____ &v
IT ~ 17 ’
с теми же направлением и ориентацией, что
и вектор МН, называется средним ускорением точки за промежуток времени At. Предел среднего ускорения, когда At стремится к нулю, есть вектор /, приложенный в точке А1 и называемый ускорением движущейся точки в момент t. Отсюда следует, что j есть геометрическая производная от v по t, т. е.
Если принять во внимание, что v есть векторная координата индекса точки М, то имеем следующую теорему: Ускорение точки М в момент t геометрически равно скорости индекса точки.
48 Часто первая. Кинематика точки и твердого тела
Алгебраические значения проекций ускорения j на оси координат выводятся непосредственно из предыдущей теоремы. В самом деле, координаты индекса I суть vx, vy, проекции ускорения точки М (геометрической скорости точки Г) равны производным от этих координат по времени (п° 38). Пусть ]х, jy, jz — проекции ускорения; тогда будем иметь
. __ dvx сfix . ___ d2y . (Pz
lx~4f~4F' 1П?''
Отсюда вытекает следующая основная теорема:
Теорема.—Алгебраические значения проекций ускорения движущейся точки на оси координат равны вторым производным от координат точки по времени.
Известно из геометрии, что соприкасающаяся плоскость в точке М траектории есть предельное положение плоскости, проходящей через касательную в точке М (а потому и через скорость v в этой точке) и через прямую, параллельную касательной в бесконечно близкой точке М' (а потому параллельную скорости v'). Эта плоскость содержит геометрическую разность Дг>, отложенную от точки М. Так как направление ускорения является предельным для направления Дг>, то ускорение лежит в соприкасающейся плоскости к траектории.
Мы вновь придем к тому же заключению в следующем п°, где будет показано, что ускорение может быть разложено на два вектора, лежащие в соприкасающейся плоскости и направленные соответственно по касательной и главной нормали к траектории.
45. Касательное и нормальное ускорения. — Пусть
а, р, у — направляющие косинусы касательной к траектории в точке М, проведенной в сторону возрастающих дуг. Тогда будем иметь, каков бы ни был знак алгебраической скорости v (так как v положительна, когда вектор скорости ориентирован в сторону возрастающих дуг):
vju — vat, vy^v'i, vs = vy.
tлава I. Кинематика точки W
Дифференцируя эти формулы по t, получим уравнения:
dv* dv , da
t =-—— = a--------(- v —.
Jx dt at ' dt
dvv о dv I d[i
dv, dv I d(
]*~~"lTt ''~dt yV~dt‘
Пусть R есть радиус кривизны, и X, jx, v — направляющие косинусы главной нормали к траектории. По формулам Френэ (которые доказываются в курсе анализа бесконечно малых) имеем:
da _ X rfp ____ ;л d [ 'I
ds R' ds R ’ <:.* R '
Выполним подстановки:
da ___ da ds ___ X d$ ________ ja d ; _ •<
~dt Hs~dt = RV’ dt ~R~V’ 4F~~~WV
тогда получим:
dv , , v”
3® " a dt 1 ~R’
r,dv i t»2
Jv ~ 1 "rfT + V‘~R~’
dtr . v2
•/*“ '_5Г + У~7Г
Возьмем ось x по касательной, ось у по главной нормали и ось г по бинормали к траектории; при этом выборе осей a = 1, (3= т = 0; ]х = 1, л = v = 0.
Обозначим через jt, jn, jb алгебраические значения проекций ускорения на три указанные направления, так что jt=jx, jn=jy, jb — Jz' Тогда получим:
