Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
28
Введение
В частности, если перенести вектор Р в другую точку, лежащую на линии его действия, то пара переноса эквивалентна нулю, и вектор остается эквивалентным самому себе. Таким образом, с точки зрения эквивалентности, векторы можно перемещать вдоль линии их действия. Это свойство выражают, говоря, что, с точки зрения эквивалентности, векторы системы являются скользящими векторами.
§ 4. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
24. Определение приведения. Приведение к одному вектору и одной паре. — Привести систему векторов, значит заменить данную систему другой системой, более простой и эквивалентной первой.
Выберем произвольно точку О и назовем ее центром приведения. Произвольную систему векторов S можно привести к одному вектору, приложенному к точке О, и к одной паре: этот вектор равен главному вектору R системы, а осевой момент пары равен главному моменту G системы относительно точки О.
В самом деле, система, составленная из указанных вектора и пары, имеет в точке О те же самые главный вектор R и главный момент G, как и система 5: она эквивалентна, таким образом, системе S.
Вектор R не зависит от центра приведения, но момент G пары меняется с изменением центра приведения и притом таким же образом, как главный момент системы (п°15).
Для точек центральной оси системы главный момент G имеет наименьшую величину и параллелен главному вектору R. Поэтому, если взять за центр приведения точку на центральной оси, то осевой момент результирующей нары получит наименьшую величину и будет параллелен главному вектору.
Пара, соответствующая центру приведения О, называется часто парой переноса, так как приведение системы также может быть выполнено при помощи правила п° 23. КлждыГ! вектор системы ? можно перенести в точку О,
Введение
29
если при этом присоединить соответствующую пару переноса. После этого все векторы, приложенные в точке О, могут быть заменены их результирующей R (п°18), а все пары приводятся к одной паре переноса по закону сложения пар (п°22). Этот способ приведения принадлежит Пуансо.
Если вектор R равен нулю, то система приводится к одной паре. Если, кроме того, момент G также равен нулю, то система эквивалентна нулю.
25. Система, эквивалентная одной результирующей.— Когда главный вектор R системы Л’ не равен нулю, то главный момент принимает свое наименьшее значение во всех точках центральной оси, представляющей собой определенную прямую, параллельную R (п°17). Если этот наименьший момент равен нулю, то система приводится к единственному вектору R при условии, что центр приведения взят на центральной оси. В этом случае говорят, что система допускает одну результирующую, или равнодействующую. Вектор R, приложенный в точках центральной оси, представляет собой результирующую системы S, эквивалентную всей системе.
Чтобы наименьший момент был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы главный момент G был перпендикулярен к главному вектору R для произвольного центра приведения (п°17).
Чтобы выразить это условие в аналитической форме, за центр приведения берут начало координат; тогда имеем известное соотношение:
LX-\- MY-\-NZ = 0.
26. Приведение системы к двум векторам. — Система векторов может быть приведена бесконечным множеством способов к двум векторам, один из которых проходит через произвольно данную точку.
Пусть О — данная точка. Выберем ее за центр приведения. Тогда система приводится к вектору R, приложен-
Введение
ному в О, и к паре с осевым моментом G. Проведем через О плоскость, перпендикулярную к G, и выберем произвольно в этой плоскости точку О'. Пару G можно представить двумя подходящими векторами Q и Q', приложенными в точках О и О' (п°21). Векторы R и Q приводятся к их результирующей (tf-j-Q), приложенной в О, после чего остается еще вектор Q', приложенный в О'.
27. Теорема. — Система векторов эквивалентна нулю, если равны нулю ее главные моменты относительно трех точек А, В а С, не лежащих на одной прямой.
В самом деле, визьмем точку А за центр приведения; система приводится к своему главному вектору R, приложенному в Л, и к паре с осевым моментом G. Главный момент системы относительно А равен G, но, по условию, Q равен нулю. Следовательно, главные моменты относительно точек В к С приводятся к моментам относительно этих точек вектора R. Эти последние моменты равны нулю по условию, поэтому R тоже должен быть равен нулю, ибо в противном случае вектор R, приложенный в точке А, должен был бы проходить одновременно через точки В к С, что противоречит условию.
Следе тви е. — Система векторов эквивалентна нулю, если равны нулю ее главные моменты относительно шести ребер тетраэдра.
Действительно, главный момент системы относительно каждой из четырех вершин тетраэдра должен быть равен нулю, так как его проекции на три ребра, сходящиеся в это:! вершине, равны нулю. Этот случай приводится, таким образом, к предыдущему.
