Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
V,., = а ¦
dx'
~di
. , dy' . dz' + !)4t+c~dt
4
Глава I. Кинематика точки
подвижная система переходит из начального положения 5, в конечное положение 5/. Перемещение ММ' точки М можно осуществить двумя последовательными перемещениями: сначала переводят систему 6\ в 5/, не меняя положения в ней точки /И, что переводит М в Mlt где
ММХ есть переносное перемещение; потом, оставляя систему Si в ее конечном положении 5/, переводят точку At из Mt в М' по ее относительной траектории. Перемещение ATjAf' есть относительное перемещение точки в системе (остановленной в ее конечном положении). Абсолютное перемещение есть геометрическая сумма определенных таким образом перемещений, перенос i о и относительного.
Отсюда имеем геометрическое равенство:
ММ' = MMt -f м[м!.
Если разделим это равенство на М и заставим стремиться к нулю, то получим:
,. ММ' / мм, „ .. м\ли
v ® =1,1,1 ТГ’ г ,:п л/
и, следовательно,
v =>»' -\-v".
48. Радиальная скорость точки.- Пусть U есть неподвижный полюс и М — движущаяся точка, которая описывает какую-нибудь траекторию (плоскую или пространственную). Проведем радиус-вектор ОМ. Движение точки М можно рассматривать как абсолютное движение, результирующее двух составляющих движений: движения относительного вдоль прямой ОМ и движения переносного, вызванного вращением этой прямой вокруг полюса. Относительная скорость v точки есть ее скорость в прямолинейном движении, она направлена по радиусу-
вектору, и ее алгебраическое значение есть ^(пс41); эту скорость называют радиальной скоростью точки.
54 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
Переносная скорость перпендикулярна к радиусу-вектору, так как точка, связанная с прямой ОМ, движется по сфере с центром в О. Эта вторая составляющая абсолютной скорости перпендикулярна к первой; следовательно, первая составляющая есть проекция абсолютной скорости на радиус-вектор. Отсюда имеем следующ)ю теорему, которая часто оказывается полезной.
Радиальная скорость точки равна проекции ее геометрической скорости на радиус-вектор.
Если траектория есть плоская кривая, то полюс О можно поместить в ее плоа ости. Тогда положение радиуса-вектора определяется углом 6, который он составляет с неподвижной ссью ОХ (фиг. 7). Переносное движение круговое, и перенос: ая алгебраическая скорость v"
d0 „ равна г Эта пере-
Фиг. 7. носная скорость, перпен-
дикулярная к радиусу, получила название трансверсальной скорости. Абсолютная геометрическая скорость точки есть результирующая скоростей и радиальной и трансверсальной. Ее величина равна
Умножая это значение v на ДI, получаем известную формулу, которая дает дифференциал дуги плоской кривой в полярных координатах
vdt = ds = Ydr* r^db2.
Далее мы увидим, как теорема о радиальной скорости может быть использована при построении касательных к кривым (п°50).
Г лава I. Кинематика точки
« Г----------
49. Одновременные движения в произвольном числе. — Предположим, что движущаяся точка перемещается относительно первой системы отсчета Sj. Пусть, далее, система Si движется относительно второй системы 5а, которая, в свою очерель, движется относительно третьей системы 53, и так далее до последней системы 6’, которая неподвижна.
Скорость точки относительно системы S2 определяется по известному правилу сложения скоростей: это есть результирующая относительной скорости ©' по отношению к Sj и переносной скорости которую точка имела бы относительно 5о, если бы она была неподвижна в 5Х. Итак, скорость по отношению к S2 равна vr -f ©j. Скорость точки относительно 53 есть таким же образом результирующая относительной скорости по отношению к S2, т. е. скорости ©' vlt и переносной скорости ©а, которую точка имела бы по отношению к 53, если бы она была неподвижна в 52- Искомая скорость, следовательно, равна v' + ©i-4-©а- Продолжая этот процесс, получаем следующую общую теорему:
Абсолютная скорость движущейся точки есть результирующая ее относительной скорости по отношению к первой подвижной систехе отсчета и всех ее последовательных переносных скоростей, вызванных движением первой системы относительно второй, второй относительно третьей, и так далее.
Когда говорят, что тело участвует в нескольких одновременных движениях, это нужно понимать лишь в только что указанном смысле. Первое движение есть относительное движение тела го отношению к персой системе отсчета, остальные представляют последовательные переносные движения, вызванные перемещением первой системы относительно второй, второй относительно третьей, и т. д. Пусть, например, какое-нибудь тело движется относительно вагона, вагон движется относительно Земли, Земля вращается гокруг своей оси, эта ось перемещается вокруг Солнца, — все это будут одновременные движения в указанном выше смысле.
