Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Начиная от точки О, взятой произвольно на оси вращения, откладывают на этой оси вектор OR, по величине равный <« (величине угловой скорости), ориентированный так, чтобы вращение тела вокруг OR происходило в положительном направлении (против часовой стрелки) для
62 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
наблюдателя, ноги которого находятся в О, а голова в R.
Этот вектор OR, определяющий вращение, называется угловой скоростью вращения, ши, короче, вращением твердого тела. Он обозначается w, и в этом случае говорят, что тело совершает вращение w.
Согласно этому определению, вектор угловой скорости есть вектор скользящий (п°23), так как начало его может быть выбрано произвольно на оси вращения.
Преимущество представления угловой скорости твердого тела вектором w вытекает всецело из следующеП основной теоремы, позволяющей использовать геометрическую теорию векторо s, изложенную во введении к курсу:
Геометрическая скорость произвольной точки М твердого тела, вращающегося вокруг оси, равна моменту вектора угловой скорости ш относительно точки М.
В самом деле, эта скорос:ь по величине равна по, перпендикулярна к плоскости, содержащей М и о), и ориентирована в положительную сторону вращения вокруг w: она определяется, таким образом, совершенно так же, как и момент вектора w.
Если вектор w приложен к точке О, то скорость точки М равна векторному произведению
v = [МО-w] = [&)- ОМ].
55. Проекции скорости точки вращающегося твердого тела на прямоугольные оси координат. — Пусть p,q,r — проекции угловой скорости w на три прямоугольные оси Ох, Оу, Ог.
Предположим, что вектор w приложен в начале О координат. Скорое ь v точки М с координатами х, у, г
равна векторному произведению векторов w и ОМ с проекциями р, q, г и х, у, г соответственно. Проекции вектора v на оси равны поэтому определителям, образованным из матрицы
р q г X у Z '
Г лава II, Кинематика твердого тела
65
т. е.
Vx = qe — ry, Vy = rx — pz, v3 = py— qx. (1)
В общем случае вектор угловой скорости ю может быть приложен в произвольной точке А с координатами
х0, у0> г0. Проекции вектора ОМ должны быть заменены проекциями AM, равными л: — х0, у—у0, г~ г0. Поэтому получим:
vx = Ч (* — г0) — т (у —у0),
Vv = r(x — х0) — р(г— г 0) (2)
= Р (У —Уо' — Я (х — V •
56. Мгновенное поступательное движение и мгновенное вращение твердого тела. — Может случиться, что в некоторый момент t скорости v всех точек твердого тела геометрически равны между собой. Эти скорости оказались бы в этот момент теми же самыми, если бы твердое тело совершало поступательное движение со скоростью V. В этом случае говорят, что твердое тело совершает мгновенное поступательное движение со скоростью V. Однако важно никогда не упускать из виду, что выражение мгновенное поступательное движение обозначает исключительно состояние скоростей всех точек твердого тела в момент t, а не действительное движение этого тела.
Может также случиться, что в некоторый момент времени скорости всех точек твердого тела таковы, как если 6j тело находилось во вращательном движении, определенном вектором угловой скорости ю. В этом случае говорят, что тело совершает в этот момент мгновенное вращение to, или что ю есть мгновенная угловая скорость. Проекции скорости произвольной точки тела в этот момент определяются формулами предыдущего п°. Но следует заметить еще раз, что выражение мгновенное вращение обозначает исключительно состояние скоростей точек твердого тела в момент t, а не действительное конечное вращение
6‘4 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
тела вокруг неподвижной оси. В частности, ускорения в момент t могут быть совершенно другими, чем при настоящем вращении тела с угловой скоростью ы вокруг неподвижной оси.
§ 2. СЛОЖЕНИЕ МГНОВЕННЫХ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ И МГНОВЕННЫХ ВРАЩЕНИЙ
57. Сложение одновременных поступательных движений.— Рассмо рим твердое тело, совершающее несколько одновременных поступательных движений. Как было объяснено выше (п°49), это значит, что тело совершает относительное движение и одно или несколько переносных движений, причем все они представляют собой поступательные движения. Само тело совершает относительное поступательное движение со скоростью v' по отношению к движущейся системе отсчета Sjj эта последняя движется поступательно со скоростью vi относительно второй системы 52, которая, в свою очередь, находится в поступательном движении со скоростью г»2 относительно системы S3, и т. д. При этих условиях абсолютная скорость V точки твердого тела равна геометрической сумме v'-\-V;¦ скоростей указанных движений и, следовательно, одна и та же для всех точек тела.
Таким образом, если твердое тело совершает несколько одновременных поступательных движений, то его абсолютное движение будет тоже поступательным. Скорость этого результирующего поступательного движения в каждый момент времени равна геометрической сумме скоростей составляющих движений.
