Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
56 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
60. Построение касательных к кривым. — Способ Ро* берваля построгния касательной к кривой заключается в том, что эту кривую рассматривают как траекторию движущейся точки и разлагают движение этой точки на несколько более простых одновременных движений, в каждом из которых скорость может быть легко построена. Абсолютная скорость, направление которой определяет касательную,
Относительное движение точки М есть движение прямолинейное, и относительная
скорость MV', направленная по прямой МР, постоянна. Переносное движение вызывается вращением прямой вокруг
полюса; скорость переносного движения MV" перпендикулярна к прямей и относится к скорости РЗ так же, как ОМ к ОР, что позволяет легко ее построить. Геометрическая скорость MV есть результирующая двух указанных скоростей и направлена по касательной к спирали.
Теорема о радиальной скорости (п° 48), позволяющая найти проекцию скорости на радиус-вектор, дает другой способ построения касательных к кривым, отличный от способа Роберваля.
Например, эллипс описывается точкой М, сумма г-\-г расстояний которой от двух фокусов F и F (фиг. 9) есть величина постоянная. Поэтому имеем:
есть результирующая ука-
S занных выше составляющих скоростей.
Фиг. 8.
Например, спираль Архимеда (фиг. 8) описывается точкой М, которая движется равномерно по прямой ОР, в то время как точка Р этой прямой равномерным движением описывает окружность вокруг п >люса О со скоро:тью РЗ.
dr
dr
Глава I, Кинематика точки
Эти производные представляют собой радиальные скорости, относящиеся к каждому из двух радиусов-векторов, или ортогональные проекции скорости на эти радиусы. Так как эти проекции равны по величине, то скорость ©, а следовательно, и касательная к кривой, направлены по биссектрисе угла, составленного радиусами-векторами, проведенными из фокусов.
Было бы большой ошибкой смешивать этот способ со способом Роберваля. В предшествующем примере движение по эллипсу не разлагается на два одновременных движения по радиусам, проведенным из фокусов, и радиальные скорости не представляют собой составляющих скорости f точки по этим двум направлениям. В самом деле, Фиг. 9.
составляющие вектора по
двум направлениям совпадают с его ортогональными проекциями на них только в том случае, когда указгнные направления взаимно перпендикулярны.
Лемниската дает другое простое приложение теоремы о радиальной скорости, и этот новый пример подтверждает предшествующее замечание.
Лемниската описывается точкой М, для которой произведение гг' ее расстояний от двух фокусов постоянно. Отсюда заключаем:
dr' <1 г
d(rr') ~dt dt
dt. ~~ ’ ~F 7 '
Таким образом, радиальные скорости по двум радиусам, проведенным из фокусов, находятся в том же отношении, как и сами радиусы. Следовательно, известно отношение ортогональных проекций скорости точки М на оба радиуса, а потому направление этой скорости находится него-
средственно.
ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. ПРОСТЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
51. Кинематическое определение твердого тела.—
Твердым телом в кинематике называют всякую совокупность точек, неизменно связанных между собой. Эта совокупность может содержать все точки некоторой геометрической фигуры (линии, поверхности или объема), в предположении, что фигура эта не изменяет своей формы. Можно также понимать под указанной совокупностью точек все пространство. При этом все физические свойства твердых тел, встречающихся в природе, в частности, непроницаемость, исключаются: идеальные твердые тела, как они рассматриваются в кинематике, могут проникать друг в друга. Мы не обращаем при этом внимания на их внешнюю форму и из всех свойств твердого тела удерживаем только одно: все точки одного и того же твердого тела могут совершать только перемещения всей совокупности в целом (йёplacements d'ensemble), при которых все расстояния между точками сохраняются неизменными.
Если закрепить две точки твердого тела, то оно сможет только вращаться вокруг прямой, проходящей через эти точки: эта прямая есть ось вращения тела. Если закрепить третью точку, взятую вне указанной прямой, то все тело окажется закрепленным. Таким образом, положение твердого тела определяется положениями трех его точек, не лежащих на одной прямой.
52. Перемещения твердого тела. — Если твердое тело переходит из некоторого положения (Л) в другое положение (В), то оно испытывает при этом перемеще-
Глава II. Кинематика твердого тела
59
ние совокупности, которое и называют перемещением твердого тела. Каждая из точек тела совершает при этом свое собственное перемещение. Так как положение твердого тела определяется положениями трех его точек, не лежащих на сдной прямой, то ясно, что и перемещение твердого тела будет известно, если известны перемещения трех его точек, не лежащих на одной прямой.
