Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Зададим три взаимно перпендикулярные оси Охуг, и пусть а, [3, "к — направляющие косинусы одного из векторов системы, взятого произвольно. Обозначим через Ри Р.2, ..., Рп алгебраические значения векторов Vv Vit...,Vn системы, считая их положительными при ориентации в сторону а,р, f и отрицательными в противном случае. Каков бы ни был знак Рк, проекции Хк, Yl;, Zk соответствующего вектора на оси будут:
Хл = *Рк, К* = ря*, Zk = 4Pk.
Если мы обозначим через хк, ук, гк координаты точки приложения вектора Vk, то моменты Vk относительно осей будут иметь значения:
h =y:kZh. — zkYb = Рк (ХУ/; — ?*»); Mk <= Pk {aik — 7**) Л/fc = (?** — ay,.).
3 Зшк. 958»
34
Введение
Пусть теперь будут: R— алгебраическая величина результирующей; х, у, г — координаты ее точки приложения; L, М, N—ее моменты относительно осей. Тогда имеем:
R = 2 Рц, L — R (уу — рг), М = R (ъг — N=R^x — ay).
Задача заключается в том, чтобы найти точки (г, у, г), где следует приложить результирующую R. С этой целью заметим, что система векторов V, с одной стороны, и вектор R, с другой, должны иметь одинаковые моменты относительно трех осей. Это условие дает три уравнения:
1iLk = L,'^Mk = M,'^lMk = N.
Заменяя в первом уравнении Lk и L их значениями, полученными выше, будем иметь:
Т[ 2 Pi-Уи — Ry] — Р ( 2 Pkzk — Rz] = 0.
Два других аналогичных уравнения получим в результате круговой перестановки букв. Таким образом, мы приходим к уравнениям:
vpkxk-Rx = ЪРлУъ — Ry = №/, ~ Яг Р т
Эги два уравнения, которым должны удовлетворять координаты .V, у, z точки приложения результирующей, суть уравнения прямой с направлением а, (3, -у; эта прямая и есть центральная ось.
30. Центр системы параллельных векторов. — Каковы бы ни были величины а, |3, 7, центральная ось проходит через точку .v, у, г, определяемую уравнениями:
rx = 2 ркхъ Ry = 2 РкУь я* = 2р***- С1)
Таким образом, эта точка занимает вполне определенное положение, каково бы ни было общее направление векторов, лишь бы эти векторы сохраняли те же самые точки
Введение
35
приложения и те же самые величины (впрочем, относительные). Поэтому, если поворачивать векторы вокруг их точек приложения, сохраняя, конечно, их параллельность, то линия действия результирующей все время будет проходить через определенную точку, и саму результирующую всегда можно приложить к этой точке. Вот почему эта особенная точка называется центром параллельных векторов. Обычно условливаются рассматривать ее в более узком смысле как точку приложения результирующем.
31. Моменты относительно плоскости. — Рассмотрим систему параллельных векторов, положительных и отрицательных, соответственно тому, направлены они в одну или другую сторону. Моментом вектора относительно плоскости называется произведение алгебраической величины вектора на расстояние от его точки приложения до плоскости; при этом расстояние считается положительным с одной стороны плоскости и отрицательным — с другой.
Если ввести такое определение, то три уравнения (1) (п°30), определяющие центр параллельных векторов, вследствие произвольного выбора осей, будут выражать следующую теорему:
Если результирующая системы параллельных векторов (предполагаемая отличной от нуля) приложена в центре параллельных векторов, то момент ее относительно какой-нибудь плоскости равен сумме моментов составляющих относительно той же плоскости.
Для этой теоремы существенное значение имеет предположение, что геометрическая сумма R параллельных векторов отлична от нуля. Если бы вектор R был равен нулю, то центр параллельных векторов, определенный формулами предшествующего п°, удалился бы в бесконечность. Легко видеть, что центр параллельных векторов вполне определяется применением предыдущей теоремы по отношению к трем плоскостям какого-нибудь триэдра, безразлично, будут ли эти плоскости взаимно перпендикулярны или наклонны друг к другу.
3*
36
Введение
Теорема остается справедливой и в том случае, когда расстояние точки от плоскости, вместо того чтобы отсчитываться по нормали, отсчитывается по наклонной к плоскости, лишь бы эта наклонная оставалась параллельной определенному направлению, так как эти два расстояния (отсчитанные по нормали и по наклонной) находятся между собой в постоянном отношении. Отсюда следует, что формулы (I) предшествующего п°, определяющие центр параллельных векторов, сохраняют силу и для косоугольных осей.
Едва ли необходимо обращать внимание читателя на то, чго центр параллельных векторов определен при помощи свойств, не зависящих от выбора осей координат. Следовательно, положение точки с координатами х, у, г, определяемой формулами (1) предшествующего п°, не зависит от рассматриваемой системы осей, прямоугольных или косоугольных.
§ 6. ВЕКТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
32. Производная вектора. — Пусть V (/) есть вектор, проекции которого на оси X(t), Y (t), Z(t) представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции от t, и который, следовательно, сам есть функция от t. Если дать t приращение At, то вектор V получит геометрическое приращение
