Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Если твердое тело двумя последовательными перемещениями переводится соответственно сначала из (Л) в (В), потом из (В) в (С), то в результате оно получит полное перемещение, переводящее его из (Л) в (С). Это Еыражают, говоря, что перемещения твердого тела образуют группу.
Если всем точкам системы задать геометрически равные перемещения, то точки останутся на одних и тех же расстояниях между собой. Такое движение есть, следовательно, не что иное, как перемещение твердого тела (deplacement d'ensemble d’un solide). Перемещение твердого тела, при котором перемещения всех точек тела геометрически равны, называется поступательным перемещением (translation). Мы знаем, что перемещение твердого тела определяется перемещениями трех его точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому, если три точки твердого тела, на лежащие на одной пр .мой, получают геометрически равные перемещения, то перемещение твердого тела будет поступательным.
Если два последовательных перемещения твердого тела поступательные, то полные перемещения всех точек тела, равные геометрической сумме составляющих перемещений, будут геометрически равны между собой. Два последовательных поступательных перемещения дадут поэтому тоже поступательное перемещение. Таким образом, перемещения твердого тела, принадлежащие к частному виду поступательных перемещений, сами по себе образуют группу (подгруппу предшествующей группы).
Если при перемещении твердого тела дпе его точки закреплены, то тело повернется на определенный угол вокруг оси, проходящей через закрепленные точки. Такое перемещение называется вращением.
60 Часть первая. Кинематика точки и. твердого тела
Можно доказать, и мы вернемся к этому далее, что всякое перемещение твердого тела представляет собой комбинацию поступательного перемещения и вращения. Сначала, однако, следует изучить распределение скоростей в различных точках твердого тела, совершающего непрерывное движение; начнем с определения и изучения цвух наиболее простых движений твердого тела.
53. Поступательное движение. — О твердом теле, непрерывно перемещающемся с течением времени, говорят, что оно совершает поступательное движение (mouvement de translation), если перемещение тела между двумя произвольными моментами времени поступательно, иначе говоря, если соответствующие перемещения двух произвольных точек тела геометрически равны между собой.
При поступательном движении твердого тела любые две его точки А и В совершают в течение промежутка
---
времени Д^ геометрически равные перемещения АА'
и ВВ'. Если мы разделим эти перемещения на Ы, то получим для точек А и В одну и ту же среднюю геометрическую скорость. Переходя к пределу, увидим, что в поступательном движении все точки твердого тела в каждый момент имеют геометрически равные скорости. Эта общая скорость называется скоростью поступательного движения твердого тела.
При поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые траектории с равными скоростями, так что движение одной точки тела позволяет определить движение всего тела.
Смотря по тому, будут ли траектории прямыми или кривыми линиями, поступательное движение будет прямолинейным или криволинейным.
Положение твердого тела практически может быть опре* делено положением трех прямоугольных осей, неизменно связанных с телом. В поступательном движении эти оси перемещаются параллельно самим себе. Обратно, если
Глава ll. Кинематика твердого тела
в!
три прямоугольные оси (или даже только две пересекающиеся прямые), связанные с телом, перемещаются параллельно самим себе, то твердое тело движется поступательно.
54. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловая скорость. Геометрическое представление. — Когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси OR, то каждая его точка М описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси, со скоростью, перпендикулярной к плоскости MOR и пропорциональной расстоянию точки от оси. Угловой скоростью ш называют величину скорости точки, находящейся на расстоянии единицы длины от оси. Величина скорости точки М, находящейся на расстоянии г от оси, будет поэтому равна гш. Чаще всего угловую скорость рассматривают как величину положительную или отрицательную, смотря по тому, в какую сторону происходит вращение вокруг оси. Вращательное движение твердого тела вокруг оси в самом общем случае можно определить, задавая в функции от t угол 9, на который плоскость МOR, связанная с телом, повертывается из своего начального положения. При таком определении скорость
точки М тела равна л—(п°42), алгебраическое же значе-
ние угловой скорости равно <в=-—; это значение положительно или отрицательно в зависимости от направления вращения.
Чтобы определить равномерное вращение твердого тела, необходимо знать три элемента: положение оси, величину угловой скорости и направление вращения. Эти три элемента можно представить одним вектором, который определяется следующим образом:
