Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
AV =
т. е. вектор, имеющий проекциями на оси ДА', Д К, AZ. Если At стремится к нулю, то отношение ДК:Дt стремится к предельному вектору, имеющему проекции dX_ dY_ dZ_
dt ’ dt И dt •
Этот предельный вектор называется геометрической производной вектора V (I) и обозначается через
dV in ’
Введение
37
Обычные правила дифференцирования суммы и произведения применимы и к векторному дифференцированию, так как они применимы к проекциям суммы и векторного произведения на оси координат. Имеем поэтому:
V,+ .-0 _ dVi I dV, ,
dt dt "г” dt r "
аАЫА - ГV dV«1 ¦ i/
dt L dt J L dt 2 •
При дифференцировании векторного произведения необходимо сохранять порядок множителей.
33. Интегрирование. — Пусть V(^) есть непрерывная функция от t в интервале (tlt Т), и пусть X(t), Y (t),
Z(t) — ее проекции на оси. Разложим интервал Г) на п последовательных интервалов точками tv t2,...,tn+1 = T и составим геометрическую сумму, распространенную на все индексы k—l,2........п:
2 у <Л) (^А- т 1 **)•
Эта сумма стремится к определенному предельному вектору, когда последовательные значения tk неограниченно приближаются друг к другу, и этот предельный вектор обозначается векторным интегралом
т
J V(t)dt.
U
Действительно, это вполне определенный вектор, так как его проекции на оси представляют собой пределы проек* ций указанной выше суммы, т. е. интегралы
т т т
| X(t)dt, J Y(t) dt, f Z(t)dt,
ЧАСТЬПЕРВАЯ
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Г Л А В А I
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 1. ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ. УСКОРЕНИЕ
34. Движение. — Говорят, что твердое тело движется относительно другого твердого тела, если расстояния между точками обоих тел изменяются. Таким образом, движение в его геометрическом представлении имеет чисто относительный характер. Но если мы выберем определенное твердое тело, т. е. систему неизменяемой формы, в качестве системы отсчета, то можно условиться рассматривать эту систему как неподвижную, и тогда движения других тел, определенные по отношению к ней, могут быть условно названы абсолютными движениями. В качестве такого твердого тела выбирают обычно систему трех осей (чаще всего прямоугольных), называемую триэдром отсчета.
В чистой кинематике выбор триэдра отсчета произволен, в физической же механике дело обстоит иначе. Когда хотят выразить законы динамики в наиболее простой, удобной и естественной форме, считают абсолютно неподвижным определенный триэдр, ориентированный неизменным образом относительно неподвижных звезд.
Задача кинематики заключается в изучении движения самого по себе, независимо от причин, которые его вызывают. В этой части механики в числе основных понятий содержится лишь одно понятие, чуждое геометрии,— понятие времени.
35. Время. — Последовательность сменяющих друг друга явлений порождает в нас идею времени, однако само по-
Глава I. Кинематика точки
39
иятие времени не подцается определению. Когда точка в своем движении переходит из одного положения в другое, это явление имеет известную длительность, совершается в течение некоторого промежутка времени. Каждое из своих промежуточных положений точка занимает в определенный момент времени, и этот момент определяется соответствующим положением гочки. В частности, крайние моменты времени, т. е. начальный и конечный моменты промежутка времени, соответствуют начальному и конечному положению движущейся точки. Если начальный момент и соответствующее ему начальное положение точки фиксированы, а конечный момент меняется вместе с конечным положением точки, то величина промежутка времени меняется, и мера этого промежутка (которую мы далее определим) есть переменная t. Эту переменную величину t называют в механике временем. Конечный момент промежутка времени, о котором мы только что говорили, определяется значением переменной t и называется моментом времени t, подобно тому как точка на оси определяется своей абсциссой х и называется точкой х. В механике почти всегда в качестве независимой переменной выбирают переменную t и рассматривают ее как величину, постоянно возрастающую.
Принципиально, всякая точка, которая движется не останавливаясь, может служить для измерения времени: равенство промежутков времени определяется равенством путей, пройденных за эти промежутки выбранной точкой. Изложение кинематики совершенно не зависит от этого выбора.
В действительности, когда дело идет о приложении механики к явлениям природы, время измеряют при помощи часов, которые показывают среднее время, определяемое в космографии. Равными промежутками времени при этом считаются такие промежутки, в течение которых Земля поворачивается на один и тот же угол относительно неподвижных звезд. За единицу времени принимают секунду среднего солнечного времени, или 1/86400 часть средних солнечных суток, определяемых астрономическими на бл ю ден иям и.
