Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать как комбинацию двух задач о поршне, интерпретируя движение
поверхности раздела как движение поршня. Скорости течения по обе стороны
поверхности раздела должны совпадать со скоростью самой этой поверхности,
так что для течений с обеих сторон поверхность раздела подобна твердой
стенке. Однако ее движение заранее не известно и должно быть определено в
процессе решения задачи.
Если скорость поверхности раздела равна V, то можно использовать условия
на разрыве (6.103)-(6.105) с и2 = V, щ - О и выразить р2, р2 и U через V.
В частности, интенсивность ударной волны z = (р2 - рг)/р1 определяется из
(6.104):
V ------2-т, ч1Г- (6.123)
Газ по разным сторонам от диафрагмы может иметь различные значения у. Мы
используем обозначение для области 1 и у4 для области 4. Волна разрежения
между областями 3 и 4 является простой волной, для которой
5з = 54, у =
3 4' V4-1 Y4-1
Для политропного газа S = с" In p/pV4, а2 = у^р/р, так что из этих
соотношений можно найти также ps и р3. В частности, р3 опре-
6.14. Отражение ударной волны
185
деляется из равенства
V __ 2 а4 (| /_?з \
"1 74-1 "1 I V Pi I
(V4-1)/(2v4)
}. (6.124)
В случае необходимости можно определить детали течения в центрированной
простой волне; решение аналогично (6.79), но с другим семейством
характеристик.
На этой стадии решение полностью определено, если известна скорость V.
Поскольку поверхность раздела не имеет массы и суммарная сила,
действующая на нее, должна равняться нулю, имеется еще одно соотношение,
а именно р2 = р3. Эти давления определяются из (6.123) и (6.124), и
условие р2 = р3 дает уравнение для V. Более существенно, однако, найти
выражение для интенсивности ударной волны z. Если в (6.124) положить р3 =
= Ръ = Pi (1 + z) и приравнять два выражения для F/%, то. будем иметь
Это уравнение определяет z через известные величины pjpx и ajav
0.14. Отражение ударной волны
Отражение ударной волны от концевой стенки также можно описать точно.
Отражение по нормали плоской ударной волны от плоскости стенки можно
проанализировать с помощью условий на разрыве. Пусть индексы 1 и 2
относятся к состояниям впереди падающей ударной волны и позади нее, а
индекс 3 - к состоянию позади отраженной ударной волны. Если
интенсивность падающей ударной волны равна z; = (р2 - Pi)/pii то
состояние 2 определяется равенствами (6.104)-(6.106) с z = zt. Впереди
отраженной ударной волны газ находится в состоянии 2, а позади нее в
состоянии 3, так что если интенсивность отраженной волны равна zT = (р3 -
р2)/р2, то из (6.104) (с соответствующей заменой индексов и знаков
скоростей, поскольку отраженная ударная волна распространяется в обратном
направлении) имеем
и2
Около стенки газ неподвижен, откуда и3 = 0. Но нам также известны и2 и а2
как функции от z;, так что получаем соотношение,
Гл. 6. Газовая динамика
186
определяющее zT через zt :
Это равенство дает квадратное уравнение для zT, и подходящее решение
имеет вид
(6.125)
1+1=1
+ 2у
Для слабых ударных волн Zj->-0 и из (6.125) имеем zT ~ zt; -
следовательно,
Ps - Pi ~ 2 (р2 - рг),
л при отражении ^давление у стенки возрастает примерно в два раза. Для
сильных ударных волн zt -> со и
ZT~-*L-, Дз_Зу-1_8 для 1>4.
У- 1 Ps У-1
6.15. Структура ударной волны
В соответствии с общей точкой зрения, развитой в гл. 2, ударная волна
интерпретируется как узкая область, в которой происходит резкое изменение
параметров течения. На некотором уровне описания'ударная волна
соответствует разрыву, и этот разрыв заменяется узкой областью при более
точном описании. Решающей здесь является проверка правильности выбора
сохраняющихся величин, а также - в случае необходимости - оценка толщины
ударного слоя в частном случае ударного перехода из одного однородного
состояния в другое. Эту задачу о структуре разрыва мы здесь и рассмотрим.
Для одномерного течения уравнения сохранения массы, импульса и энергии
имеют вид
Pi + (P")* = 0.
(pu)< + (ри2 -ри)х= 0, (6.126)
(lpu2+ pe)t+{ (у "2 + е) Рм - PuW+?i}3C = °-
Для уточнения этого использовавшегося до сих пор описания примем
соотношения Навье - Стокса для напряжения рг1 и теплового потока qt,
сохранив, однако, предположение о локальном термодинамическом равновесии.
Эти соотношения сводятся к тому, что Рц линейно зависит от градиента
скорости, а дг линейно зависит от градиента температуры. В общем виде они
приведены выше
6.15. Структура ударной волны
187
(уравнения (6.28) и (6.29)), а для одномерного течения сводятся к
следующим:
Ра = -Р + fft= -кТх. (6.127)
Термодинамические соотношения
1 р
р = <%рТ (6.128)
замыкают систему в случае политропного газа.
При описании структуры ударной волны течение считается стационарным
относительно ударной волны. Поэтому все параметры течения зависят только
от X = х - Ut. Для таких функций
д __ j-j d д____ d
~dt=~ ~dX ' ~д^ = Ш
и уравнения (6.126), имеющие форму законов сохранения, интегрируются и
принимают вид
- U р -J- pu = Ау - U (ри) + ( риг + Р-т рих ) = В,
