Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/1 \ Г / 1 х (6Л29)
- U (-g-pн2+ ре) + { (g- и2+е) ри+ри -
4
-у риих - КТХ | = С,
где А, Б и С - постоянные интегрирования. При X ->- + со течение
стремится к однородному состоянию, обозначаемому индексом 1. Постоянные
А, В и С при этом находятся по U, иг, pl5 рг. Если, кроме того, течение
стремится к однородному состоянию и2, р2, р2 при X ->- - со, то ясно, что
состояния на ±оо связаны условиями на разрыве (6.87)-(6.89).
Соотношения (6.127) можно также использовать для дальнейшего исследования
уравнений, описывающих изменение энтропии. Уравнение (6.92) можно теперь
переписать в следующем явном виде:
d , /тт ,.\С1 i!^ux+(/-Tx)x
_{p(<7-u).S} =-------------у-----,
или - еще лучше-в виде d
dX
Отсюда
Гл. 6. Газовая динамика
188
Теперь ясно, что изменение энтропии при переходе через ударную волну
является следствием диссипации энергии за счет вязкости и теплопередачи,
и это изменение автоматически записывается с нужным знаком.
Детали профиля ударной волны между предельными значениями на ±оо
определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями (6.129). Положив
v = U - и и введя новые постоянные, связанные с А, В и С, эти уравнения
можно переписать так:
р v = Q,
рн2 + р + 4/з РГх = Р,
{h + у v2) Ру + "з"х = Е.
Это уравнения стационарного течения в системе координат, движущейся
вместе с ударной волной, причем положительное направление v соответствует
отрицательному Х-направлению. Условия на разрыве, связывающие однородные
состояния на ±оо, имеют теперь вид, соответствующий (6.95)-(6.97).
Уравнение неразрывности pv = Q и соотношения (6.128) можно использовать
для сведения системы к двум уравнениям для к и Т. Для политропного газа
h = -У-гШ^СрТ
у 1 *
и несколько удобнее работать с v и h. Уравнения имеют вид
^pvx = P-Q(v+l=±t), (6.130)
-^¦^ + 4 pvvx=--E - () (ft-f-i-i;2). (6.131)
Качественное исследование показывает, что решение требуемого вида
существует. В частном случае Х/ср = 4/я ц, что является хорошим
приближением для воздуха, существует первый интеграл и решение находится
в явном виде. (Величина рср/Х представляет собой число Прандтля и
равняется 0,71 для воздуха при обычных температурах.) Для такого значения
Х/ср уравнение (6.131) можно переписать так:
Правая часть стремится к нулю при X ->- со, так что -)- 1/2 v\ -----=
Е/Q. Следовательно, единственное решение, ограниченное при X -v - оо, это
6.16. Автомодельные решения
189
всюду. В этом случае величина h + V2 к2 не только одинакова по обе
стороны от ударной волны, но остается постоянной по всей ударной волне.
Уравнение (6.130) тогда принимает вид
Поскольку постоянные должны быть такими, чтобы правая часть обращалась в
нуль как при v = vlt так и при v = к2, это уравнение можно переписать
иначе:
В нашем случае Q = р^, так что толщина ударного слоя пропорциональна
Как и ожидалось, она становится меньше, если р убывает при фиксированной
интенсивности волны, а также если интенсивность волны возрастает при
фиксированном р.
Решение вида простой волны связано с плоской волной, распространяющейся в
однородную область. Задачи с цилиндрической или сферической симметрией и
задачи о плоских волнах, распространяющихся в неоднородную область,
являются более сложными. Можно построить довольно общую приближенную
теорию слабых волн (это будет сделано в гл. 9), но имеются также
некоторые точные решения специального вида, более близкие к содержанию
данной главы.
Рассмотрим сначала цилиндрическое или сферическое волновое движение.
Уравнения (6.49) сводятся к следующим:
Это уравнение легко интегрируется, что дает
4р 2у 1
ЗрГ т + 1 Vi - у2 '
p<+wpr-fp (иг+ -у-) = 0,
I
Щ + ииг + - Рг = 0, Pt + ирт - a2 (Pt + ирг) = 0,
(6.133)
(6.134)
(6.132)
где г - расстояние от центра, a j = 1, 2 для цилиндрических и сферических
волн соответственно.
Гл. 6. Газовая динамика
190
Характеристические уравнения почти такие же, как и § 6.7; дополнительный
член jpu/r не содержит производных и, следовательно, не влияет на выбор
подходящих линейных комбинаций. Теперь эти характеристические уравнения
принимают вид
?.±ра^-+1^-=0 шЯ = и±а, (6.135)
Я-#?=0 шЯ = и. ,6.136)
Безобидный на вид дополнительный член в уравнении (6.135) не позволяет
получить решение типа простой волны. Для изэнтропического течения
уравнение на характеристике С_ имеет вид
М^та-и)+1т-°- <6-137>
Его уже нельзя раз и навсегда проинтегрировать и получить простое
соотношение между а и м. Вследствие этого не существует точных решений,
соответствующих простым волнам плоского течения. Можно использовать
некоторые приближенные методы и получить аналогичные решения, но они
ограничены слабыми возмущениями. Такая приближенная теория и будет
построена в гл. 9.
Однако, используя другой подход, можно найти класс точных решений,
которые оказываются удивительно полезными. Система уравнений (6.132)-
(6.134) имеет специальные автомодельные решения, для которых все
параметры течения имеют вид tmf {гIf1). В силу этих свойств течения,
