Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 69

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 215 >> Следующая

зависимые и независимые переменные поменять ролями; это так называемое
"преобразование годографа". При таком преобразовании
где J - якобиан
Поскольку уравнения (6.121) квазилинейны и однородны, якобиан сокращается
и уравнения принимают вид
(6.121)
V ~ 1
хи + Utu + ^~2- ata = О, ха - uta -f- ^ atu = 0.
Это линейные уравнения для х (и, а) и t (и, а). Заметим важность того
обстоятельства, что якобиан J сокращается: в противном случае уравнения
были бы существенно нелинейны.
Гл. 6. Газовая динамика
182
Уравнение для t (и, а) можно получить, исключив х перекрестным
дифференцированием. Тогда
I у-1 V t ] y2~i 11 -t
V 2 ) aoi 4 a uu •
Полагая b = 2a/(y - 1), n = (y + l)/(2 (y - 1)), перепишем это уравнение
так:
hb + ^-tb= tuu.
При n = 1 это - волновое уравнение в сферически симметричном случае,
имеющее сравнительно простое общее решение. Действительно, если п -
произвольное целое число, то можно проверить, что общее решение имеет вид
fa(g-Wn,K>'+<=<"-"}, (6 122)
где F и G - произвольные функции. К счастью, два практически интересных
случая с у = б/3 и у = 7/5 описываются приведенным решением с в = 2 и в =
3 соответственно. Инварианты Римана равны и ± Ь, так что это выражение
полностью определяет основную характеристическую структуру.
В линеаризованном приближении уравнения (6.121) имеют вид
Y 1 2
at Ч 2- а0их = 0, Ilf Ч~ у | O-fflx = 0,
и общим решением является
и = / (ж-о4) Ч- g (х+a0t),
2
b - b0= j-f(a - a0)==f(x--a0t)-g(x+a0t).
Нелинейное решение записывается в форме, соответствующей обращению этих
соотношений.
Для задачи Коши а и и - заданные функции
а - А (х)1 и = 41 (х) при t = 0.
В принципе эти выражения определяют в параметрическом виде некоторую
кривую 3 в (Ь, н)-плоскости, на которой заданы х и t = 0. Этих двух
граничных условий достаточно для определения решения в соответствующем
характеристическом треугольнике 1). На практике, однако, как было указано
выше, обычно используют численное решение в (х, ^-плоскости.
х) Решение задачи о распаде произвольного разрыва и обсуждение
возникающих при этом вопросов об единственности решения содержится в
книге Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко "Системы квазилинейных
уравнений", М., "Наука", 1968, стр. 247-260.- Прим. ред.
6.13. Задача об ударной трубе
183
Для простых волн либо и + Ъ, либо и - b постоянно, так что отображение в
(и, Ь)-плоскость вырожденное: вся область простой волны на (ж, Q-
плоскости отображается в кривую на (и, ^-плоскости. Тогда взаимодействие
двух простых волн на (и, Ь)-плоскости можно описать решением с переменной
t, заданной на характеристиках
и + Ъ = Ъг, и - b = Ь2.
Определение функций F и G в этом случае проще. Решение можно также найти
и для произвольного значения у; подробности указаны в книге Куранта и
Фридрихса [1]. Данный анализ ограничен течениями без ударных волн и, по-
видимому, представляет в основном академический интерес; в силу этого, мы
не приводим здесь детали.
6.13. Задача об ударной трубе
Рассмотрим один частный случай задачи Коши с разрывом в начальных данных,
в котором можно найти точное решение. Этот случай важен также потому, что
он связан с основным прибором для воспроизведения ударных волн в
экспериментальных условиях. Ударная труба - это длинная труба,
перегороженная у одного из концов тонкой диафрагмой. В секцию,
расположенную за диафрагмой, накачивается газ под высоким давлением. В
начальном состоянии имеются две однородные области с
и = 0, р = Pi, Р = Pi при х > О
и
и = 0, р - Pi. > Pi, р = Р4 при X < 0. Диафрагма, разделяющая две области
исходных однородных состояний, разрывается. При этом возникает ударная
волна, распространяющаяся по трубе. Если эффектами трения о стенки трубы
можно пренебречь, то эту волну можно рассматривать как плоскую волну, и
если ограничиться временем, когда волна еще не отразилась от концов
трубы, то точное решение можно получить аналитически.
На рис. 6.5 изображена (ж, ^-диаграмма. Поверхность, разделяющая два
газа, движется по трубе; возникают ударная волна сжатия,
распространяющаяся в сторону газа с низким давлением, и волна разрежения,
распространяющаяся в сторону газа с высоким давлением. Поскольку
начальные условия не выделяют характерной длины или интервала времени, а
длины секций трубы не существенны на ранней стадии, когда возмущения еще
не достигли концов, соображения размерности показывают, что решение
должно быть постоянным на прямых x/axt = const
Гл. 6. Газовая динамика
184
в (х, ^-плоскости. Следовательно, скорости ударной волны и поверхности
раздела должны быть постоянными, а волна разрежения должна описываться
веером, центрированным в начале координат.
Как показано на рис. 6.5, существуют области однородного состояния 1, 2,
3, 4, причем в областях 1 и 4 состояния совпадают
Рпс. 6.5. (х, ^-диаграмма для ударной трубы.
А - центрированная простая волна, В - поверхность раздела, С - ударная
волна.
с исходными однородными состояниями. Задачу можно, следовательно,
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed