Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 74

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 215 >> Следующая

197
чивостъю. Ниже будет показано, что приближенная теория предсказывает, что
малые несимметричные отклонения формы ударной волны будут расти и ударная
волна не будет сходиться точно в центр. Однако неустойчивость влияет на
поведение только в малой окрестности центра, и, по-видимому, решение
Гудерлея применимо для большей части течения.
Другие автомодельные решения
На основе анализа размерностей можно утверждать, что течение, создаваемое
равномерно расширяющейся сферой, должно описываться автомодельным
решением с и, р, р, зависящими только от r!Ct, где С - скорость сферы.
Уравнения имеют вид
(6.143) - (6.146) с п = 1, и в этом случае автомодельность решения не
связана с сильными ударными волнами. Эта задача была поставлена и решена
Тейлором [3].
В некоторых отношениях задачи о плоских волнах, распространяющихся в
неоднородной среде с плотностью р0 (х), аналогичны задачам о сферических
или цилиндрических волнах. Оказывается, что они имеют соответствующие
автомодельные решения. Сакураи [1] рассмотрел случаи, для которых р0 (х)
ос хт, и обнаружил, что их можно исследовать так же, как задачу о
сходящейся ударной волне. В частности, показатель степени в автомодельной
переменной был выбран так, чтобы устранить возможную особенность на
предельной характеристике, проходящей через точку х = 0 (см. § 8.2).
Другие случаи, включая экспоненциальную стратификацию плотности, были
изучены Седовым [1, гл. 4], Зельдовичем и Рай-зером [1] и Хейзом ш.
6.17. Стационарное сверхзвуковое течение
Задачу о стационарном сверхзвуковом течении также можно решать методами,
развитыми для нестационарных волн. Действительно, между задачами из этих
двух областей существует тесная аналогия. Двумерное стационарное течение
соответствует нестационарным плоским волнам, осесимметричное стационарное
течение - цилиндрическим волнам.
Если пренебречь массовыми силами, то стационарное течение можно описать
уравнениями
V-(pq) = 0, (6.149)
v(y q2)+"xq = (6.150)
q.V^=0. (6.151)
Гл. 6. Газовая динамика
198
Эти уравнения получены из (6.49) небольшими изменениями. Удобно
использовать векторные обозначения, обозначив вектор скорости через q
(поскольку позднее для двумерного течения компоненты скорости будут
обозначаться и и и) и заменив первоначальное выражение (q • V )q в левой
части уравнения (6.150) на указанное эквивалентное выражение, где to =
rot q - завихренность.
Здесь можно записать термодинамическое соотношение (6.31) в виде
TdS = dh--dp Р 1
и, учитывая (6.150) и (6.151), вывести уравнения
V(|-q2 + fc)-f toxq=7VS, (6.152)
q-V(|-q2+/i) = 0. (6.153)
Следовательно, в силу (6.151) и (6.153), знтропия S и "полная энтальпия"
h + 1/2 ф остаются постоянными вдоль линий тока в любой непрерывной части
течения. Если непрерывное течение выходит из однородного состояния с S =
S0, h = h0, q = U на бесконечности, то имеем
h + ± qz = h0 + YU2' (6.154)
S = S0 (6.155)
по всему течению. Если возникает ударная волна, то эти соотношения
следует пересмотреть, поскольку параметры течения могут меняться скачком,
когда линии тока пересекают ударную волну, и величина скачка может быть
разной для разных линий тока. Но пока будем считать, что зти соотношения
выполняются. Тогда уравнение (6.152) сводится к
и X q = 0. (6.156)
Нас интересуют только плоские или осесимметричные течения,
для которых ta и q ортогональны, так что ta = 0, т. е. течение является
безвихревым. В трехмерном случае существуют особые течения, так
называемые течения Бельтрами, удовлетворяющие равенству (6.156) с ta Ф 0.
Для политропного газа h = а2/(у - 1) и уравнение Бернулли (6.154) можно
записать в виде
а2 = а2в - (6.157)
выразив а через q. Если течение к тому же изэнтропическое, то р и р можно
выразить через а и, следовательно, через д.
6.17. Стационарное сверхзвуковое течение
199
Рассмотрим теперь непрерывное двумерное течение с однородными условиями
вверх по течению. Течение ищется на (х, ^-плоскости, и q = (и, и).
Поскольку все термодинамические величины, в силу (6.155) и (6.157),
являются известными функциями от д, необходимы два уравнения для ими.
Можно использовать (6.149) и условие отсутствия вихрей ю = 0. Остальные
уравнения будут удовлетворяться автоматически, в силу тех или других
интегралов движения. Имеем
(pw)*+(pi0ir = 0,
Vx и у - 0,
где р выражено через инис помощью (6.157). Связь между аир имеет вид а2
сю pv_1, откуда
dp 1 d (а2) и du + v dv
p 7 - 1 я2 я2
Следовательно, уравнения можно преобразовать к виду
(и2 - а2) их -{- 2uvuy + (г2 - a2) vy = 0, (6.158)
vx - uv = 0, (6.159)
где а'2 дается равенством (6.157).
Характеристические уравнения
Согласно процедуре, описанной в гл. 5, следующий шаг состоит в
исследовании характеристической формы. Выкладки, хотя и элементарные,
довольно сложны, и приходится использовать некие ухищрения, чтобы сделать
их как можно короче. Мы начнем с непосредственных вычислений и рассмотрим
линейную комбинацию
(и2 - а2) их + (2uv - I) иу -f- lvx -j- (г2 - a2) vy = 0.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed