Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным
уравнениям с независимой переменной r/tn.
Задача о сильном взрыве
Одно из наиболее известных автомодельных решений описывает взрывную
волну, вызванную сильным взрывом. Оно было найдено Седовым, а также
независимо Тейлором и фон Нейманом в связи с исследованиями взрыва
атомной бомбы. Вид этого решения можно найти на основе анализа
размерностей. Во-первых, предполагается, что взрыв можно идеализировать
как внезапное высвобождение некоторого количества энергии Е,
сосредоточенной в точке, и что это единственный размерный параметр,
вводимый взрывом. Во-вторых, результирующее возмущение считается
настолько сильным, что начальное давление и скорость звука для
окружающего воздуха пренебрежимо малы по сравнению с давлениями и
скоростями возмущенного течения. Тогда единственным размерным параметром,
связанным с окружающим газом, оказывается плотность р0. В частности,
применимы соотношения (6.110)
6.16. Автомодельные решения
191
для сильной ударной волны, так что за ударной волной, распространяющейся
со скоростью U,
и=?ти' Р=^=т"' (6.138)
Анализ размерностей основан на том факте, что параметрами задачи являются
только энергия Е с размерностью МЬ2Т~2 и плотность р0 с размерностью
МЬ~3. Единственный параметр, связанный с размерностями длины и времени,-
это Е/р0 с размерностью ЬЪТ~2 или некоторая функция от него. Рассмотрим
теперь различные величины, встречающиеся в процессе решения. Течение
опережается ударной волной при г = R (t). Поскольку функция R (t) имеет
размерность длины, то единственно возможная форма ее зависимости от t
такова:
i?(*) = fc(-^)l/Y/5, (6.139)
где к - некоторое безразмерное число. Затем из условий на разрыве (6.138)
следует, что давление и скорость сразу за ударной волной равны
8 к 2р0 ( Е \2/в в/5 4 U=T * 1 (J_\
25 Y+1 Ur) * * Y+l V Ро /
или, что то же самое,
8 къ 4 fcs/2 / Е \1/2 "-з/" /с,,,пч
Р- 25 ^+Т^ ' и = тти(-) R \ (6.140)
Как обычно, приходится удивляться, что, исходя из простого анализа
размерностей, можно получить столь ценную информацию.
Можно продолжить анализ размерностей и установить функциональный вид и, р
и р во всем поле течения. Поскольку не существует независимых масштабов]
длины и времени, связанных
с параметрами задачи, а комбинация Е/р0 имеет размерность ЬьТ~г, любые
безразмерные функции от г и ? могут зависеть только от комбинации ? =
Et2/(pnr5). Мы будем использовать величину
5 R(t) '
в силу (6.139), пропорциональную ?_1/б. Тогда, например, величины ut/R,
р/ро, pt*/{poR2) являются безразмерными и должны зависеть только от ?.
Следуя Тейлору [4], положим
р=РоФ(Е). Р= (4 (6.141)-
где множитель 2/5 включен потому, что отношение 2/?/(5г) пред-
ставляет собой скорость ударной волны. Существуют другие-
Гл. 6. Газовая динамика
192
эквивалентные формы, и выбор
и=|уГ(|), p = p0Q(S), p=(4^)2poJP(i)
удовлетворяет рассматриваемой. общей схеме. Очевидна связь Ф = IV, ф = Q,
/ =
Ударная волна находится в точке ? = 1 и имеет скорость U, равную R =
2R/(5t), так что условия на разрыве имеют вид
¦НЧ-уут. = /(1)-у+т- (6-142)
При подстановке выражений (6.141) в уравнения движения получаются три
обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка для функций ф
(Н), ф (Н), / (Н). Их следует проинтегри-
Рис. 6.6. Нормированные скорость ф, плотность ф и давление / для сильного
взрыва (по Тейлору).
ровать в пределах от Н = 1 до Н = 0 с начальными условиями
(6.142). Параметр к не входит в уравнения. Он связан с определением Е как
полной энергии течения. Таким образом, мы полагаем К(0
J (y=T + -2 РЫ?) 4jlr2dr"
О
что дает
о
6.16. Автомодельные решения
193
Функции ф, ф, /, графики которых приведены на рис. 6.6, получены Тейлором
численным интегрированием уравнений для случая у = 1,4. Используя другие
переменные, Седов показал, что эти уравнения можно решить аналитически;
см. гл. 4 книги СедоваШ1).
Автомодельные уравнения
Автомодельное решение, описывающее сильный взрыв, принадлежит семейству
решений, для которых
и = п у V (Е), р= п2ро ~ Р (|),
(6.143)
p = p0Q(|), t= .
Если эти выражения подставить в уравнения (6.132)-(6.134) и учесть, что
частные производные функции / (|) можно записать в следующем виде:
(c)=-пу/' т,
/(c) = !+' (H)=|f (I),
то множители, зависящие от г и t, сократятся и получатся обыкновенные
дифференциальные уравнения по одной переменной |. Удобнее всего они
записываются для V, А = (уР/Q)1/z и Q; при этом скорость звука равна
а = п ~ А (|).
Эти уравнения таковы:
{(F-l)2-A2H-f.=
= {(/ + l)F_liiz:^I}^2-F(F-l)(F_l), (6.144)
{(F-l)2-^l-^.=
-^ 0 + 1) v (F - 1) - (F - 1) (F- i) , (6.145)
= 2 {(j +1) U } (F -1)-* A2 -
~f(F-1-)-0+1)F(F-1). (6.146)
Решение этой задачи было впервые опубликовано JI. И. Седовым в статье
"Движение воздуха при сильном взрыве", ДАН, 52 (1946), № 1, 17-20.- Прим.
ред.
Гл. 6. Газовая динамика
194
Решение может иметь особенность там, где
(V - I)2 - А2 = 0. (6.147)
