Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В линейной теории упругости для малых смещений | из неде-формированных
состояний уравнения линеаризуются следующим образом. Поскольку Jjh = 6jh
+ О (V|), при линеаризации уравнение (7.12) принимает вид
а выражения для деформаций (7.13) записываются так:
'"-т(йг+-йг)- (7Л5)
Формула, связывающая напряжения с деформациями, имеет вид
Ра ~ (^-16)
где ^ и р - постоянные Ламе. Строго говоря, постоянные К и р зависят от
характера движения, например от того, является оно изэнтропическим или
изотермическим, но для большинства материалов эта разница мала. (Хорошее
элементарное изложение термодинамики имеется в книге Ландау и Лифшица
[3], стр. 18.)
В силу равенств (7.14)-(7.16), три уравнения для смещений |г имеют вид
Ро й),2" = l-(V2E; + (4 + ц) (V-D- (7-17)
Взяв дивергенцию и ротор от (7.17), получим
^.(v.|)==±tpLv2(v.|)f (7.18)
¦?'(vx|)='?'v2(vx|) (7Л9) соответственно. Таким образом, существуют две
моды, удовлетворяющие волновому уравнению. Уравнение (7.18) описывает
про-
Гл. 7. Волновое уравнение
210
дольные волны (волны сжатия), распространяющиеся со скоростью {(Я +
2р)/р0}1/2, в то время как уравнение (7.19) описывает поперечные волны
(волны сдвига), имеющие скорость {р/р0}1/2-Эти две моды связаны
посредством граничных и начальных уело-вий, накладываемых на ^ или на рц,
и полное решение задачп требует гораздо большего, чем просто решения
волнового уравнения.
Электромагнитные волны
Уравнения Максвелла для непроводящей среды с магнитной проницаемостью р и
диэлектрической проницаемостью е записываются так:
-f- + VxE = 0, e-f- = ~VXB,
dt' dtji
V-B = 0, V-E = 0,
где В - магнитная индукция, а Е - напряженность электрического поля.
Следовательно,
¦S-=------- V X (V X В) = - V2B;
df2 eu ' ' ер
аналогичному уравнению удовлетворяет и Е. Все компоненты векторов Е и В
удовлетворяют волновому уравнению со скоростью распространения с = (ер)-
1/'2. Однако компоненты связаны друг с другом условиями V? -Е = О, V -В =
0, и, кроме того, дополнительные связи накладывают краевые и начальные
условия. Поэтому решение задачи снова не сводится только к решению
скалярного волнового уравнения.
7.2. Плоски
е волны
В случае одной пространственной переменной х волновое уравнение имеет вид
фtt ~ С фзел-
Если ввести характеристические координаты а = х - ct, Р = х + ct, то оно
сведется к
=0,
да сф
и общим решением явится
Ф = / (ос) + g (Р) = / (х - ct) + g (х + ct),
где / и g - произвольные функции. Эти произвольные функции легко
определяются по заданным начальным или граничным
7.3. Сферические волны
211
условиям. Для задачи о распространении сигнала с условием ф* = Q (0 при х
= О
решение имеет вид
ф= - cQi (* - (7.20)
где (Д (t) - первообразная функции Q (t). Для задачи с начальными
условиями
Ф = ф0 (х), фt = Фх (х), t = 0, -оо <; х <С оо,
решение имеет вид
ж+cf
Ф = 4'^фо^~ с*) + Фо + j ф!(|)сй. (7.21)
.3. Сферические волны
Для волн, симметричных относительно начала координат, имеем ф = ф (R, t),
где R - расстояние от центра (начала координат). Волновое уравнение
сводится к следующему:
1 d2(f с)2ф . 2 д<р
dt2 ~ OR2 "Г~~R~m •
Любопытно, что это уравнение также можно записать в виде 1 а2(Дф) _ &(Щ)
с2 dt2 OR2 '
что совпадает с одномерным волновым уравнением. Общее решение имеет
следующий простой вид:
(p = L^-c1) + zJR+ct) . (7.22)
Для источника, генерирующего только уходящие волны, решение принимает вид
f(R-ct)
R •
где / определяется свойствами источника. Обычно их удобно задавать в виде
<?Р) = Ит4яЯ2-^. (7.23)
R-+0 оп
Это дает
______________________ Q(t)= -Anf(-ct)
х) Условие берется с заданной функцией фж, а не ф для удобства сравнения
с функциями источника для сферических и цилиндрических волн.
Гл. 7. Волновое уравнение
212
и
Ф
1 Q (г - Rjc) 4я R
(7.24)
В акустике дцЮИ - радиальная скорость, a Q (t) - объемный расход
жидкости.
Для задачи Коши, хотя она и состоит всего лишь в определении функций / и
g в выражении (7.22), решение оказывается более интересным, чем можно
было бы ожидать. Рассмотрим в акустическом приближении "задачу о взрыве
шара": пусть давление внутри шара радиуса R0 равно р0 -f Р, тогда как
давление снаружи равно р0. Газ первоначально покоится, и оболочка шара
взрывается в момент времени it = 0. Согласно (7.3) и (7.4), начальные
условия можно записать в виде
Эти условия определяют fug для положительных значений их аргументов.
Однако в решение (7.25) входят значения / и для отрицательных значений
аргумента. Недостающее условие связано с поведением решения в начале
координат. Поскольку в начале координат источник отсутствует, мы имеем
Это условие определяет / для отрицательных значений аргумента по
известным значениям g для положительных значений аргумента. Решая
уравнения (7.26) и (7.27), получаем
/ (R - a0t) . g(R-Paot) R R
g(R + a0t)
R
(7.25)
должно удовлетворять условиям
f(R) + g(R) = 0, OcRcoo,
(7.26)
откуда
f (-a0i) + g ("o0 =°. 0 < t < oo.
(7.27)
- (P-AS), -Ro<t<R0.
