Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 66

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 215 >> Следующая

Х2
XI
(yPw2+Pc) ^+[(4pu2+Pc) и- Рни ^qiTx2 = 0' ^6'86^
ЭС2
Каждое из этих соотношений имеет вид (5.54), и соответствующее условие на
разрыве имеет вид (5.56). После вывода условий на разрыве для
непрерывного течения по обе стороны от разрыва снова принимаются значения
рХ1 = -р, = 0, е = е (р, р), и, следовательно, их можно подставить в
условия на разрыве. Тогда эти ус л о ви я р иним а ют вид
-#[р] + [ры] = 0, (6.87)
- С/[рн]-Ь [ри2 + р] = 0> (6.88)
- *7[-|ры2 + ре] + [(ури24- ре) w-f-piij = 0. (6.89)
Соответствующими дифференциальными уравнениями в виде законов сохранения
являются
Р* + (Р^)ж = 0, (ры)(+(ри2+р)ж=о,; (6 90)
(4'°"2 + Ре)( + { (4* P"2 + Pe) "+Р"}ЗС = °*
Они эквивалентны системе (6.60) - (6.62).
Из этой системы можно получить еще один закон сохранения:
(Р S)t + (Р uS)x = 0,1 (6.91)
немедленно следующий из (6.60) и (6.62). Но это уравнение уже неприменимо
в более общей интегральной форме. Действительно, из (6.7) - (6.9) и
(6.31) имеем
(pS)t +(р uS)x = {p^p)fu*~gix, (6.92)
откуда
Ж1 \Х1
J pS dx + (ри5]" = j (Рч+Р^ж-gi, dXm (6 g3)
Х2 Х2
Член в правой части равенства (6.93) существенно отличается от члена типа
источника ht в (5.54), поскольку он содержит произеод-
Гл. 6. Газовая динамика
172
ные от параметров течения и нет способа их проинтегрировать.
Следовательно, рассуждения, приводящие к (5.56), неприменимы. (Напомним,
что предположения рХ1 = -р, дг = 0 вводятся только после перехода к
соответствующим пределам.) Таким образом, нельзя вывести условие на
разрыве, формально соответствующее уравнению (6.91). Действительно, ниже
при помощи условий (6.87) - (6.89) мы покажем, что
-U [р?] + IpuS] ф 0. (6.94)
При изучении структуры ударной волны вклад правой части равенства (6.93)
будет рассмотрен подробнее.
Интересно, что четыре уравнения, а именно уравнения (6.90) и (6.91), это
все законы сохранения, которые можно вывести для системы (6.60) - (6.62).
Для доказательства этого утверждения рассмотрим уравнение типа закона
сохранения
!+И+Л=0'
где f,gmh - функции от р, р и и. Если это уравнение расписать через
производные от р, р и и и если для исключения производных по t
использовать уравнения (6.60), (6.61) и (6.63), то получится
Сёр + и1е) Рх + (gi> - ufp~j/fu)px +
+ (gu - Ufu - p/р - pazfp) Ux + h = 0.
Поскольку это соотношение должно выполняться тождественно, коэффициенты
при производных должны обращаться в нуль по отдельности и, кроме того, h
должна быть равной нулю. Три уравнения для / и g можно решить и показать,
что наиболее общее решение для / представляет собой линейную комбинацию
р, рп, 1/2 ри2 ре, рS. Таким образом, единственными независимыми
уравнениями сохранения являются уже указанные выше уравнения. Любые три
из этих четырех уравнений можно использовать для построения "слабого
решения", но только система (6.90) с условиями на разрыве (6.87) - (6.89)
соответствует реальной физической ситуации.
Полезные модификации условий на разрыве
Прежде всего удобно записать условия на разрыве (6.87) - (6.89) через
относительную скорость v ~ U - и. Подставляя соответствующее выражение
для и, получаем
[pv] = 0,
[р + рк2- pvU\ = 0,
[pH (/l-b-g-H2) - (p + pl;8)t/-j--lpl,?72] = 0>
6.10. Ударные волны
173
где h - энтальпия е 4- р/р. Беря линейные комбинации, эти соотношения
можно привести к виду
[рк] = 0, [р + рн2] = 0, [рн (/i-fi-H2) J = 0.
Это условия на разрыве для стационарного течения в системе отсчета, в
которой ударная волна неподвижна. Если == = p2i;гф 0, то постоянный
сомножитель pv в третьем уравнении можно опустить, и тогда мы получим
р2У2 = Р1Уь (6.95)
Ра+Ра^ = Р1 + Р1^, (6.96)
h+Yv22=lh + Y^" ^6'97^
Как правило, течение впереди ударной волны известно, и условия на разрыве
используются либо для определения течения за ударной волной через
скорость ударной волны, либо для определения скорости ударной волны и
остальных параметров течения через один из параметров течения за ударной
волной. Приведем в явном виде формулы для политропного газа. Будет
полезно включить выражения для скорости звука, хотя они и вытекают из
выражений для р и р. Для политропного газа
e = -.l-, h=а2 = у-, (6.98)
у-1 р у - I Р ' р '
и искомые формулы получаются выкладками из равенств (6.95) - (6.97).
Когда параметры течения выражаются через U, то удобно использовать
величину
М--
U - щ
- число Маха ударной волны относительно течения перед ударной волной.
Тогда
и2 - и\ 2 (М2 - 1)
"1 (v-И) л/ '
р2 (у+1)Л/2
(6.99)
(6.100)
(6.101)
Pi (у-1) Л/2 + 2'
Р2 - Р1 _ 2у (Л/2 - 1)
Pi Y + 1 '
аъ_ = (2уЛ/2 - (у - l)}1^2 {(у - 1) Л/2 + 2}1^ 6 ш
at (у + 1) Л/ ' \ • )
Если считается известным р2, то удобно ввести интенсивность ударной волны
Z = --
Р1
Гл. 6. Газовая динамика
174
и выразить соотношения на разрыве в виде
<W03> (6.104)
м2 - и1
d\
(л , Y + 1 \1/2 '
n1+Vz)
1 + У-Рг
¦ Д , (6-105)
l+~wz
{ ¦ (61М)
Свойства ударных волн
Некоторые важные свойства ударных волн будут выведены с помощью этих
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed