Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 73

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 215 >> Следующая

Из вида уравнений следует, что эти особенности лежат на кривой ? = const.
Исходные уравнения являлись гиперболическими, и, как мы знаем,
особенности решения лежат на характеристиках
? = uJza = -!f(V±A). (6.148)
На кривой ? = const мы имеем
dr nr dt t
Следовательно, на кривой ? = const, являющейся характеристикой, должно
выполняться равенство V ± А = 1. Это согласуется с (6.147). Иначе говоря,
особенность может возникнуть лишь на характеристике, проходящей через
начало координат, п эта предельная характеристика принадлежит семейству ?
= const.
Рис. 6.7. (г. г)-дпаграмма для сильного взрыва.
1 - характеристики, 2 - ударная волна, 3 - предельная характеристика.
В задаче о сильном взрыве п = а/5 и предельная характеристика не может
оказаться за ударной волной. Она может быть расположена лишь в области
перед ударной волной, как показано на рис. 6.7, но течение там является
однородным с V = А = О и особенности отсутствуют. Предельная
характеристика представляет собой край складки в (г, ^-плоскости для
многозначного решения, которое заменяется ударной волной.
Задача Гудерлея о сходящейся ударной волне
Предельная характеристика играет решающую роль в задаче о сходящейся
сферической или цилиндрической волне, охлопывающейся к центру. В этом
случае отсутствуют соображения размерности, позволяющие установить
автомодельность решения.
6.16. Автомодельные решения
195
Однако Гудерлей [1] предложил искать решение задачи в виде
(6.143) с некоторым показателем степени п, который следует определить. За
нулевой момент времени t выбирается момент, когда ударная волна достигает
центра, так что в равенствах
(6.143) 4 ^ 0 и С < 0. В пользу автомодельного решения говорит то, что
особенность в центре связана с ударной волной, которая
Рис. 6.8. (г, Ц-дпаграима для сходящейся ударной волны.
1 - исходная ударная волна, 2 - предельная характеристика, 3 - отраженная
ударная волна.
входит по некоторой кривой в (г, ^-плоскости и отражается вдоль некоторой
другой кривой. Это наводит на мысль, что решение связано с некоторым
семейством кривых, входящих в начало координат, а самым простым является
семейство вида r/(-t)n = = const, которое и следует испробовать. Во
всяком случае, решение этого типа существует! Уравнения тогда те же, что
и выведенные выше уравнения (6.144)-(6.146) с некоторым ?г, которое
следует определить. Сходящуюся ударную волну можно нормировать так, чтобы
она находилась на кривой
Е = --- = 1 (")"
поскольку параметр С можно взять каким угодно.
В рассматриваемом случае геометрия характеристик на (г, t)-плоскости
показывает (это ясно из схемы, приведенной на рис. 6.8), что предельная
характеристика, проходящая через начало коор-
Гл. 6. Газовая динамика
196
динат, находится в области течения. Поэтому вопрос об особенности на ней
становится решающим. При интегрировании уравнений (6.144)-(6.146) для V
(?), Р (?), Q (t) с начальными значениями при |=1 мы выходим на кривую
(V-I)2 - А2 = 0. При этом у решения возникает особенность, если правые
части равенств (6.144)-(6.146) не обращаются также в нуль. Заметим, что
искомое решение не имеет особенности и что показатель степени п еще не
выбран. Гудерлей учел эти два обстоятельства и предложил выбрать п так,
чтобы правые части равенств (6.144)- (6.146) обращались в нуль на кривой
(6.147) и решение гладко продолжалось за предельную характеристику.
Численное интегрирование было проведено с большой точностью Батлером [1],
и найденные значения п представлены в табл. 6.1. Давление в ударной волне
и ее скорость имеют вид peer'2!1'11)/", U с/э показатель степени (1 -
п)/н также приведен в таблице.
Таблица 6.1
Цилиндрическая волна, з - 1 Сферическая волна, з = 2
V п (1-п)/п п (1-п)/и
5/3 0,815625 0,226054 0,688377 0,452692
7/5 0,835217 0,197294 0,717173 0,394364
6/5 0,861163 0,161220 0,757142 0,320756
Любопытно, что показатель степени (1 - п)/п для j = 2 приблизительно
вдвое превосходит свое значение для j = 1. Хотелось бы привести
доказательство справедливости точного соотношения. Приближенная теория,
которая будет изложена ниже (см. гл. 8), дает этот результат
автоматически, но тем не менее результат в точном виде кажется неверным.
Гудерлей показал также, что отраженная ударная волна может быть описана
тем же автомодельным решением. Наиболее интересно возрастание ее
интенсивности при отражении. В этой идеализированной модели и исходная, и
отраженная волны имеют в центре бесконечную интенсивность и скорость, но
отношение интенсивностей остается конечным. Гудерлей показал, что при у =
7/5 отношение давления за отраженной ударной волной к давлению за
исходной ударной волной составляет примерно 26 для сферических волн (] =
2) и примерно 17 для цилиндрических волн (/' = 1). Для плоских волн это
отношение равно 8 (см. § 6.14).
Бесконечные значения в центре можно устранить учетом, скажем, эффектов
вязкости, но более важный вопрос связан с устой-
6.17. Стационарное сверхзвуковое течение
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed