Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Это уравнение имеет характеристическую форму
(и2 - а2) (их + тиу) + I (vx + mvv) = 0,
если
(и2 - а2) т = 2uv - I и 1т = г2 - а2.
Величина т должна удовлетворять уравнению
(и2 - а2) т2 - 2иит -{- (и2 - а2) = 0. (6.160)
Это уравнение имеет два вещественных корня, если и2 -{- г2 > а2.
Следовательно, система является гиперболической в тех областях, где
течение сверхзвуковое. Соответствующие характеристические уравнения имеют
вид
du I /.,2 ,.2\ dv j ^ dy
Гл. 6. Газовая динамика
200
Поскольку имеются только две переменные, дифференциальная форма
(и2 - я2) mdu + (я2 - я2) dv (6.162)
интегрируема при любом выборе т и можно получить две римано-вы
переменные. Процедура ясна, но в этом месте (зная заранее ответ!) можно
воспользоваться маленькой хитростью. При этом следует руководствоваться
симметрией.
Поскольку то - наклон характеристики, то (6.160) можно представить как
соотношение между дифференциалами dx и dy на характеристике и переписать
в виде
(и2 - a2) dy2 - 2uvdxdy -j- (г2 - a2) dx2 = 0,
или лучше
(и dy - v dx)2 = а2 (dx2 + dy2).
Если % - угол между характеристикой и осью х, а 0 - угол между линией
тока и осью х, то
dx = cos % ds, dy - sin % ds,
и = q cos 0, v = q sin 0.
Тогда дифференциальное соотношение принимает вид
tf sin2 (х - 0) = я2- (6.163)
Но а есть функция от д, так что если ввести переменную р, опре-
деляемую условиями
sinp = -, 0<р<4-, (6.164)
q Z
то соотношение (6.163) перейдет в равенство
% = 0 ± р. (6.165)
Характеристики образуют углы ±р с направлением линий тока. Величина р
называется углом Маха и связана с q соотношениями (6.164) и (6.157).
Ввиду их важной роли мы будем далее работать с двумя независимыми
переменными р и 0 вместо q и 0 или и и п.
Осталось перейти к новым переменным в дифференциальном выражении (6.162)
для римановых переменных. На характеристике выражение (6.162)
обращается в нуль; следовательно, (6.160)
также можно использовать для нахождения связи между du и dv. Эта связь
имеет вид
(;vdv -f- udu)2 = а2 (du2 + dv2).
Используя j и 0, получаем
q2dq2 = Я2 (dq2 + f///02),
6.17. Стационарное сверхзвуковое течение
201
или
de±f4~l)1/2^- = 0.
\ а2 ) q Следовательно, римановы переменные равны 6 ± Р (pi),
где
ры- j
= |//Г-^ГГагс1ё(}/Л^Г1:ё!-1)-^11- (6.166) Таким образом,
характеристические уравнения имеют вид
0 + Р (и) = const на С+: = tg(0 + p),
1 (6.167)
0 - Р(р) = const на С_: -^-=tg(0-р).
Простые волны
Частное решение, для которого одна из римановых переменных постоянна во
всей области течения, будем по-прежнему называть простой волной. Такое
решение получается при изучении
обтекания закругленного угла, изображенного на рпс. 6.9. Вверх по течению
относительно угла течение однородное, скажем с р = р0, 0 = 0.
Характеристики С _ все начинаются в этой однородной области;
следовательно, на каждой из них
р (б) - 0 = р (ро)- (6-168)
Как следствие эта риманова переменная постоянна во всей области течения.
Тогда из уравнений для С+ следует, что и и 0 должны принимать постоянные
значения на каждой характеристике С+ и каждая характеристика С+
представляет собой прямую с накло-
Гл. 6. Газовая динамика
202
ном tg (0 -(- р). Поскольку граничные значения 0 = 0№ определяются
профилем угла у = Y w (х), решение можно записать в виде
е = е"ф, />((*") = гы + е",
(6.169)
У = YW (I) + (х - ?) tg (0№+ рш).
Имеется близкая аналогия с задачей о поршне, как в формулах для решения
(ср. (6.76) - (6.77)), так и в выводе формул. При этом
у ¦+-*¦ х, х ¦*-*¦ t, g -"-"¦ т.
Все представляющие интерес величины можно вычислить по найденным
значениям и и 0. Особый интерес представляет
в - в$
М=Мв ГГТ77ТТ771^
1'пс. 6.10. Центрированный веер Прандтля - Мейера для сверхзвукового
обтекания угла.
давление у стенки, и для его нахождения требуется только инвариант Римана
(6.168); значение р v: определяется по 0 w, а давление связано с р
соотношением
Р _/ а \2у/(у-1)_ ( 1 +(у -l)/(2sm2n0) TvAv-l) "
Ро I l + (v-l)/(2sin2p) / ' vd.i/u;
В предельном случае, соответствующем углу, изображенному на рис. 6.10,
простая волна переходит в веер характеристик (веер Прандтля - Мейера) и
решение в области веера дается равенствами
/>(р) -0 = />(ро),
(6.171)
tg (6 + р) = -|-.
Когда наличие угла приводит к сжатию, образуются области многозначности,
связанные с пересечениями характеристик (как показано на рис. 6.11), и
возникает разрыв (ударная волна). Предельный случай профиля с угловой
точкой изображен на рис. 6.12. Если появляется ударная волна, то
различные первые интегралы вдоль линий тока и вдоль С_, вообще говоря,
уже
6.17. Стационарное сверхзвуковое течение
203
не обязаны сохраняться, поскольку параметры потока меняются скачком при
переходе через разрыв (ударную волну). Однако эта ситуация очень похожа
на ситуацию для соответствующих нестационарных задач, рассмотренных выше.
Для слабых ударных волн эти первые интегралы сохраняются с точностью до
членов
Рис. 6.11. Образование ударной Рнс. 6.12. Образование ударной волны в
