Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
получаем
Ф t
-г/с
= _ _L f9'("_JLchC)d?=_J- С ¦.
2л J 4 \ с ~/ 2л J Y(f-4)2-r2/c2
^ = 1ЙГ J сьи(*-усь^)^= (7.30)
=- \
2л J
/с
*-ц q' (д) dii
r ^(t - Г))2 - Г2/С2
Эти формулы можно также вывести непосредственно из (7.29), использовав
разумное интегрирование по частям, чтобы избежать расходящихся
интегралов, или понятие "конечной части" интеграла по Адамару. Последнее
включается в подход, использующий теорию обобщенных функций.
Поведение вблизи начала координат Из последней формулы (7.30) следует,
что
Фг
-2йГ j <7'0l)*l = ^rg(0 при г + 0.
Отсюда расход на единицу длины линейного источника равен Нш2лгфг = q (<),
г-О
что подтверждает наше определение q (t). Имеем также
9 (0 1 'Р ~ 2л Г'
но часто требуется следующий член разложения. Интегрируя выражение (7.29)
по частям, получаем
t-r/c --------------
1 f '/41 / V - У) +V д - ^"1)2-r2/c2-l
2-пГ J q (11)ln {-------¦ rjc-----------------)d'!•
Если теперь это выражение при малых г заменить на
V ~ -j q' W 1п 0, (7.31)
7.4. Цилиндрические волны
217
то аккуратными оценками можно показать, что ошибки пропорциональны г.
Выражение для ф t получается из (7.31) заменой q' (ц) на ц (ц).
Поведение вблизи волнового фронта и на больших расстояниях
Если q (t) = 0 при t < О, то нижний предел в интеграле (7.29) можно
положить равным нулю и решение отлично от нуля лишь при t - г/с > 0.
Первый сигнал прибывает с волновым фронтом t - г/с = 0. Введем переменную
измеряющую время, прошедшее после прибытия волнового фронта' тогда (7.29)
можно переписать так:
q>= -J-f--q(4)d4 .. .........., t = *-^>0.
J у (т - г)) (т - г)4-2г/с) с
Поскольку т] меняется от 0 до т, при ст/r 1 второй сомножитель под знаком
корня можно приближенно заменить на 2r/с. Отсюда
*-sri ущш"2- -7-"-
о
Таким образом, имеем
~~7~~ (7.32)
где
0<т>=Т5-! f==T- <7-33>
о
Выражение (7.32) можно сравнить с выражениями (7.20) и (7.24). Во всех
трех случаях амплитуда убывает как /-_<п-1>/2, где п - размерность
пространства. В данном случае, однако, соответствующая формула не
подходит и Q не является просто интенсивностью источника. Простая
интерпретация указанной зависимости амплитуды будет приведена в § 7.7
(уравнение (7.70)).
Гл. 7. Волновое уравнение
218
Разложение (7.32) можно продолжить, заметив, что
__ 1 f <?(n) I с \1П ^ ( -1/2\ ( с(т-ц) _
2я J (т_ щШ \ 2г ) Zj \ т ) \ 2г / ,| -
О 1 т=0
__ у (т-1/2)! <?m(T) / с чт+1/2 _ст_ , п/ч
Z (-т-1/2)! т! \ 2г ) ' 2r ^
т=0
где
<?т (?) = 1 5(ч)(Т-Ч)"1"172^- (7-35)
о
Интересно, что если q (+0) > 0, так что источник при включении имел
конечную интенсивность, то
Qm(Т)еоТт+^2, Т -> 0. (7.36)
Таким образом, разложение по времени после прохождения волнового фронта
происходит по полуцелым степеням.
Хвост цилиндрической волны
Одним из важных различий между нечетным и четным числом измерений,
замеченных Адамаром, является поведение решения для источника,
действующего в течение конечного интервала времени. Предположим, что q(t)
равна нулю вне интервала времени 0 < t < Т. Для плоских или сферических
волн из (7.20) 1) и (7.24) видно, что возмущение ограничено интервалами
- <t<--\-Т и - </< - -| -Т
с с 1 с с
соответственно. Первый сигнал прибывает с волновым фронтом, покинувшим
источник при t - 0; это должно быть верно независимо от размерности.
Интересно то, что возмущение прекращается вместе с сигналом, покинувшим
источник в последний момент времени t = Т. Для цилиндрической волны
выражение (7.29) содержит интеграл от интенсивности источника q(t) и
возмущение
J) Для (7.20) задается фж, так что под "возмущением" мы понимаем величины
фж и ф7; то обстоятельство, что ф может быть отличной от нуля постоянной
при t > г/c-f- Т, не считается возмущением.
7.5. Сверхзвуковое обтекание тела вращения
219
продолжается после t = г/с + Т. Имеем
т
Для фиксированного г
т
оо.
(7.37)
о
Возмущение стремится к нулю только асимптотически при t ->- оо.
/.О. Сверхзвуковое обтекание тела вращения
Наиболее интересное приложение найденного цилиндрического волнового
решения связано, по-видимому, со сверхзвуковой аэродинамикой. Согласно
уравнению (7.7), возмущение потенциала скорости удовлетворяет двумерному
волновому уравнению, причем
где г - расстояние от оси вращения, ах - расстояние от носика тела.
Решение, равное нулю при х < Вг, ищется в виде
Интенсивность источника r/(i]) связана с формой тела. Граничные условия
на поверхности тела состоят в том, что на ней нормальная составляющая
скорости равна нулю. Поэтому, если тело имеет форму г = R (х), то
Для линеаризации уравнений тело должно быть тонким, т. е. R' (х) мало и
Фж и Фг также малы. В силу зтого, граничные условия линеаризуются, а
именно
x**t, М2- 1 1/с2.
Для тела вращения уравнение (7.7) принимает вид
в'гФхх = ФГ1 -I - Ф, , В=У М2- 1,
х-Вг
Фг = R' (х) (U + Фх) при г = R (х).
Фг = UR'(x) при г = R (х).
Но Фг ~ q (х)/(2яг) при г -> 0, так что (7.39) дает q (х) = 2лUR (х) R'
(х) = US' (х),
(7.39)
Гл. 7. Волновое уравнение
