Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
7.3. Сферические волны
213
Итак, формула для возмущения давления имеет вид
p-Po=-jfi-{(R - a0t)F+(R-\-a0t)G),
где
Г 1, если -R0<iR - a0^ci?o. } 0 в противном случае;
f 1, если 0 с R + a0t < R0, I 0 в противном случае.
Изменение давления со временем изображено на рис. 7.1. Для точки R > R0
давление скачком возрастает на PR0/(2R)
в момент времени t= (R - R0)/a0, затем избыточное давление линейно
убывает со временем, достигая величины -PR0/(2R) в момент времени t = (R
+ R0)/a0, а потом скачком возвращается к нулю. Даже при R = R0 скачок на
фронте волны равен только Р/2, остальная часть Р/2 от полного скачка Р
поглощается идущей к центру волной разрежения.
Для внутренних точек R <Z R0 скачкообразное изменение давления,
уменьшающее исходное значение Р до Р (1 - R0/(2R)), происходит в момент
времени t = (R0 - R)/a0, затем избыточное давление линейно убывает со
временем, достигая величины -PR0/(2R) в момент времени t = (R0 + R)/a0, а
потом скачком возвращается к нулю. Заметим, что в центре R = 0 изменения
бесконечно велики, но весь процесс занимает бесконечно малый интервал
времени!
Интересно, что всюду неотрицательное возмущение давления приводит к
уходящей волне с равными положительной и отрицательной фазами. В
действительности такой профиль в виде ./V-волны типичен для двух- и
трехмерных волн. Причины этого можно выяснить следующими рассуждениями. В
уходящей волне
Р-Ро
Р-Ро
Р
Рис. 7.1. Картина давления в задаче о взрыве шара.
Гл. 7. Волновое уравнение
214
давление и радиальная скорость выражаются формулами
__ " Роао/' {Я-a0t)
I НО ]{ >
_ /' (fi - a0t) / {R - a0t)
R №
Во-первых, следует отметить, что для любой волны, у которой как р - Ро,
так и и обращаются в нуль после прохождения волны, как/', так uf должны
обращаться в нуль. Поэтому/' должна принимать как положительные, так и
отрицательные значения, чтобы интеграл от нее, равный /, обращался в
нуль. Во-вторых, рассмотрим объемный расход через сферу большого радиуса
R. Для больших значений R этот расход составляет
4nR2u ~ 4лRf(R - a0t).
Величина расхода растет с увеличением R. Если бы /', которая
пропорциональна давлению, была бы всегда положительной, это привело бы к
бесконечно большому оттоку жидкости при Д -> оо. Однако для Лг-волны за
большим уходящим потоком немедленно следует уравновешивающий большой
входящий поток, так что суммарный расход конечен.
Для плоских волн ни один из этих эффектов не возникает и положительное
возмущение приводит к волнам с положительными р - р0 и и.
7.4. Цилиндрические волны
В своих классических исследованиях волнового уравнения Адамар указал, что
общий характер решения различен для четного и нечетного числа
пространственных измерений. Точные утверждения будут приведены ниже, но
можно грубо сформулировать результат, сказав, что иметь дело с нечетным
числом измерений проще, чем с четным. Поэтому трехмерный случай
сферической симметрии был рассмотрен первым, и цилиндрическое волновое
решение будет выведено из сферического волнового решения. Здесь мы
получим решение только для уходящих волн.
Мы начнем с решения (7.24) для точечного источника. Предположим, что
такие источники распределены равномерно вдоль оси z с плотностью д (t) на
единицу длины (см. рис. 7.2). Полное возмущение, создаваемое этим
распределением, является, очевидно, функцией только от расстояния г до
оси z и от времени t; это и есть цилиндрическая волна, генерируемая
линейным источ-
7.4. Цилиндрические волны
215
ником. Полное возмущение равно
, a If q(t - Bjc)dz_ 1 f q (t - R/c) i
' ' ' 4л .1 i? 2л J R
Ф1
где R = Y rZ + z2-
Решение можно записать в различных формах. Подставив в интеграл z == г sh
?, R = г ch ?, получим
<р(г, <)=--^г j?("-fchS)dS. (7.28)
другой стороны, положив
г-- = 1
с
получим
t-r/
^г' *>=-аг (
z = c\r(t - I])2 - г2/с2,
д (ч) Лц
у (г-г))2- г2/с2
(7.29)
Рис. 7.2. Детали построения для линейного источника.
Формула (7.28) удобнее для вычисления производных ср и, следовательно,
для непосредственной проверки справедливости волнового уравнения. Легко
показать, что
с2(фгг+-^Ф,.)-Фн = ^ sb ?</'(*-7 ch?)} =
О
"7 ВНЕСЛИ q (t) 0 достаточно быстро при t -оо, например, если q
тождественно равно нулю при t < 0, то этот предел равен нулю.
Для периодического источника q (t) = е~ш, чтобы удовлетворить условию q
(t) -> 0 при t ->¦ - оо, будем считать, что со имеет малую положительную
мнимую часть, незначительно изменяющую решение за конечные интервалы
времени. Согласно (7.28), решение для периодического источника имеет вид
Ф
поскольку интеграл совпадает с одним из представлений функции Ганкеля.
Это решение можно было бы получить проще, решив
Гл. 7. Волновое уравнение
216
волновое уравнение методом разделения переменных. Интеграл Фурье от таких
элементарных решений дает другой вывод формулы (7.28).
Первые производные ф описывают важные физические величины (давление и
скорость в акустике). Делая в (7.28) подстановку ch ? = с (t - r\)/r,
