Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
формул для политропных газов, но качественные результаты остаются
справедливыми и в общем случае. Сначала проверим условие (6.94). Для
политропного газа S = cv 1в (p/pv), откуда, в силу (6.105) и определения
z, имеем
^i=ln <' + ,)(<^,Г. (6.107)
(, + 1?.)'
Это выражение отлично от нуля при z Ф 0, так что при переходе через
ударную волну энтропия действительно изменяется скачком.
Согласно второму закону термодинамики, энтропия^ частицы может только
возрастать. Следовательно, если частица переходит со стороны 1 на сторону
2, то обязательно S2 > Sj_. При'" помощи
(6.107) можно показать, что d (S2 - SJ/dz > Оприу > 1, z > -1, что
всегда выполняется. Поэтому если S2 - Sx > 0, то z > 0. Таким образом,
ударная волна всегда является волной сжатия с р2 > Pi, а тогда из
остальных соотношений (6.103) - (6.106) следует, что
Ps > Ti> Ps > Pi, "2 > "1, uz > щ, M > 1. (6.108)
Другой подход к установлению знаков скачков состоит в выяснении вопроса,
когда ударные волны вызываются опрокидыванием волн. Для простых волн §
6.8 скорость распространения равна и + а, так что условие формирования
ударной волны из §1(2.6 принимает вид
и2 + а2 > U > щ + av (6.109)
6.10. Ударные волны
175
Таким образом, ударная волна является сверхзвуковой, если смотреть на нее
спереди, и дозвуковой, если смотреть на нее сзади. Из (6.103) следует,
что если V > щ + аг, то z > 0, и тогда другое неравенство вытекает из
(6.103), (6.104) и (6.106).
Скачок энтропии при переходе через ударную волну, согласно
(6.107), зависит от интенсивности этой волны. Как следствие течение за
ударной волной изменяющейся интенсивности не может быть изэнтропическим.
Это имеет важное значение для приближения простой волны из § 6.8. В то же
время мы должны рассмотреть возможность разрыва инварианта Римана
использованного в (6.73). Оказывается, что при переходе через ударную
волну эта величина претерпевает разрыв. Все это означает, что решение в
виде простой волны, строго говоря, не может реализоваться при
возникновении ударной волны. Однако для ударной волны малой или даже
умеренной интенсивности эти скачки удивительно малы.
Для слабых ударных волы все выражения в (6.103) - (6.107) можно разложить
по степеням z. Первые несколько членов имеют вид
В общем случае скачки параметров течения пропорциональны z, но скачки Sms
составляют лишь ОЦг3). Даже для умеренных ударных волн они удивительно
малы; ниже (см. таблицу) приведены типичные значения для у = 1,4. Для
ударных волн малой или
Слабые ударные волны
$2 - 2 0,2 ^2
al У - 1 ai
у -1 aj
Гл. 6. Газовая динамика
176
умеренной интенсивности в разумном приближении можно пренебрегать
изменениями энтропии и инварианта Римана. В этом
Z S2 - Si V - 1 s2 ~ S1
Сс 2 о 1
0,5 0,003 0,001
1,0 0,013 0,005
2,0 0,052 0,019
5,0 0,215 0,085
10,0 0,478 0,209
приближении решение в виде простой волны из § 6.8 можно сохранить и
использовать даже в тех случаях, когда имеются слабые ударные волны.
Сильные ударные волны
В другом экстремальном случае очень сильных ударных волн можно
использовать асимптотическое поведение при z-^ оо. Наиболее удобное
выражение получается из (6.99) - (6.101). Обычно в этом случае U^> щ, так
что полагаем М ~ U/al и М ^ 1. Тогда формулы (6.99) - (6.101) переходят в
асимптотические равенства
-рг~?=т- <6-110>
где мы использовали соотношение af = v/VPi Для исключения как рг, так и
аг. Эти выражения содержат только параметр рх течения перед ударной
волной; щ, рг, аг теперь малы по сравнению с величинами за ударной
волной, так что в данном приближении ими можно пренебречь. Интересно, что
сжатие p2/pi остается ограниченным при сколь угодно большой интенсивности
ударной волны.
0.11. Слабые ударные волны в простых волнах
Как было отмечено ранее, только в случае, когда возникающие ударные волны
имеют малую или умеренную интенсивность, для простой волны можно
сохранить приближенные равенства
S = S0, а - а0-\- и- (6.111)
Тогда, как это видно из (6.83), оставшееся уравнение можно записать в
виде
Wf с (м) их = 0, с = а -J- и = Hq -J- -м. (6.112)
6.11. Слабые ударные волны в простых волнах
177
Кроме того, что соотношения (6.111) исключают два уравнения, они
приближенно удовлетворяют двум условиям на разрыве, и остается одно
условие, соответствующее (6.112). Поскольку этот подход приближенный,
существует много различных вариантов, отличающихся членами|высшего
порядка. Как мы видели в гл. 2, для уравнения вида (6.112) удобнее всего
положить
так что равенство (6.114) справедливо в первом порядке по z, но не во
втором. Это приближение является менее точным, чем (6.111). Можно найти
выражение, связывающее U с иг и ц2, верное с точностью до членов третьего
порядка по z, но это приведет к излишнему обычно неоправданному
усложнению при введении разрыва.
Задача построения линии разрыва по существу та же, что и в гл. 2, и в
случае (6.113) ее решение повторяет рассуждения
Можно было бы рассмотреть задачу Коши для (6.112), но эта задача является
