Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
траекторий всех частиц; следовательно,
S = S0 (6.72)
по всему течению. Так как течение изэнтропическое, то можно использовать
теперь соотношение (6.71) для двух других семейств характеристик.
На характеристиках С_ величина dxldt меньше, чем на траектории частицы,
и, следовательно, все они начинаются на оси х в невозмущенной области
(см. рис. 6.1). На каждой такой характеристике
-L-а -и = -^, (6.73)
у - 1 у - 1 ' ' '
поскольку этот инвариант Римана постоянен на каждой из них и сохраняет
первоначальное значение из области и = 0, а = а0.
Поскольку начальное значение снова одно и то же для всех этих
характеристик, инвариант Римана (6.73) всюду равен одной и той же
постоянной. Из этих рассуждений следует, что решение является простой
волной. Обратимся к другому характеристическому уравнению в (6.71) и
определим оставшуюся часть решения.
Для тех характеристик С+, которые начинаются на оси х, справедливо
равенство (6.73) с противоположным знаком. Отсюда в области, покрываемой
такими характеристикам, ии = 0, а = а0. Таким образом, исходные
однородные условия имеют место в области впереди характеристики С(r),
отделяющей характеристики С+, начинающиеся на оси х, от характеристик С+,
начинающихся на поршне. Поскольку мы предполагаем, что течение непрерывно
и не имеет разрывов, то и = 0, а = а0 впереди С(r) и на самой этой
характеристике. Таким образом, С(r) определяется равенством
х = a0t.
Для характеристик С+, начинающихся на поршне, используем равенство (6.71)
со знаком плюс:
-^-)-u = const на каждой С+: ~ = и-\- а.
Гл. 6. Газовая динамика
166
В силу равенства (6.73), справедливого всюду, это сводится к условию
и = const на каждой С+: "|'=:ао+(6.74)
Значение и на каждой из этих характеристик различно и зависит от того,
где данная характеристика пересекается с поршнем, но видно, что в общем
случае семейство положительных характеристик представляет собой семейство
прямых, каждая из которых имеет наклон а0 + {(у + 1)/2} и,
соответствующий значению и на ней.
Граничные условия состоят в том, что на поршне скорость газа равна
скорости поршня. Следовательно, если движение поршня описывается функцией
х = X (t), то граничное условие имеет вид
и - X (t) при х = X (t). (6.75)
На характеристике С+, пересекающейся с поршнем в момент
времени т, и = X (т), и тогда из (6.74) следует, что уравнение этой
характеристики таково:
х=Х (т)+ { а0 + АДт)} (t-т). (6.76)
Поэтому решение имеет вид
и = Х( т), а = а0+^Х(х), S = S0, (6.77)
где т (х, t) неявно определяется равенством (6.76).
Поскольку характеристики С+ являются прямыми с наклоном dx/dt,
возрастающим с ростом и, ясно, что характеристики будут накладываться
одна на другую, если и может возрастать на поверхности поршня, т. е. если
X (т) > 0 для какого-либо значения т. Это типичное нелинейное
опрокидывание изображено на рис. 2.1, и оно показывает, что образуются
ударные волны. Если и возрастает, то возрастают а, р и р, так что
опрокидывание и ударные волны возникают в области сжатия возмущения. Для
изучения ударных волн необходимо пересмотреть предположения, лежащие в
основе равенств (6.72) и (6.73), а также обсудить соответствующие условия
на разрыве.
Для волны разрежения решение, даваемое формулами (6.76) и (6.77),
является полным. Особый интерес представляет предельный случай, когда
поршень внезапно выдергивается со скоростью -V. Имеются однородная
область, где
u=-V, a = a0-y-^-V, (6.78)
6.8. Простые волны
167
расположенная сразу за поршнем, и переходная область между ней и
первоначальной невозмущенной областью, описываемая центрированным веером
характеристик, как показано на рис. 6.2.
и=-V
Рис. 6.2. Центрированный веер разрежения.
Поскольку все зти характеристики начинаются в точке х = t = О, их
уравнения имеют вид
Y+1
Все значения и, лежащие в интервале от -V до 0, мгновенно достигаются в
начале координат, но каждое значение определяет "свою" характеристику из
веера. Разрешив это соотношение относительно и и добавив выражение для а
из (6.73), получим систему
----
у+ 1 \ аф / '
Y+lV-o* Г I (67т
/у- 1 аг 2у \ [ 2 оо a0t
Если поршень движется вперед со скоростью F, то веер выворачивается и
образует многолистную область, которую можно рассматривать как складку в
(х, ^-плоскости (ср. с рис. 2.3). Это, конечно, соответствует мгновенному
опрокидыванию, которое следует заменить ударной волной.
Для других задач аналогичные рассуждения применимы, как правило, вблизи
фронта произвольного возмущения, распространяющегося в однородную
область. Существует область, в которой траектории частиц и одно семейство
характеристик выходят из лежащей впереди однородной области, так что в
этой области течение является изэнтропическим и один инвариант Римана
всюду имеет одно и то же значение. Другое семейство характеристик
"переносит" возмущение: на каждой из них параметры течения остаются
постоянными, и каждая из них является прямой линией. Область простой
волны простирается назад до первой траектории частицы, выходящей из
