Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
составляет 3/2 кТ. Если каждая молекула имеет а степеней свободы, то
средняя энергия одной молекулы равна V2 ч.кТ. Поэтому средняя энергия
единичной массы равна
е = -^-акТп. (6.41)
Выражение для р не меняется, поскольку р связано с поступательной частью
энергии. Объединяя эти три различных результата* получаем
e = Ya&Т, h- (-^а+1) &Т, р~МрТ, (6.42)
откуда
= ср=(у а+1)-^, ?=! + -§• (6.43)
Эти результаты согласуются по форме с полученными ранее выражениями для
идеального газа с постоянными удельными теплоемкостями, но отличаются
тем, что, помимо всего прочего, включают формулы ДЛЯ Ср, cv, у.
Для одноатомного газа а = 3, у = 5/3. Для двухатомного газа* имеющего две
вращательные степени свободы, а = 5, у = 1*4* что является хорошим
приближением для воздуха.
6.5.
Иные формы уравнений движения
Уравнения сохранения в форме (6.25) - (6.27) соответствуют законам в
интегральной форме (6.2) - (6.4) и понадобятся при рассмотрении ударных
волн. Но для других целей эти уравнения можно упростить. Удобно ввести
оператор
д
Dt dt dxj
для производной по времени от величин, связанных с индивидуальной
частицей. Уравнение сохранения массы (6.25) можно переписать в виде
Dp , duj
'6.5. Иные формы уравнений движения
157
Исключая из уравнения (6.26) производные от р (для этого используем
уравнение (6.25)), получаем
РТГ+ЖГ-Р"- (6-45>
Уравнение сохранения энергии (6.27) можно записать в различных формах.
Прежде всего, используя два других уравнения, его можно привести к виду
РЖ + ^ = °- <6-46>
Далее, в силу (6.44), имеем другую эквивалентную форму De р Dp .-I
~Ш~"р^~ПГ~
При помощи термодинамического соотношения (6.31) это уравнение приводится
к виду
тж=0- (6-47)
Иначе говоря, энтропия остается постоянной вдоль траектории частицы.
Течения, удовлетворяющие уравнению (6.47), обычно называются
адиабатическими.
Следует подчеркнуть, что рассуждения, которые привели нас к (6.47),
являются чисто математическими преобразованиями уравнений сохранения. В
принципе таким образом можно было бы ввести "интересную величину S (р,
р)" без какого-либо предварительного знакомства с термодинамикой.
Полученный таким путем результат достаточно убедителен. Вывод равенства
(6.31) в термодинамике связан с бесконечно медленными обратимыми
изменениями, и может показаться,'(что мы необоснованно используем его вне
этих условий. Однако, как только сделаны предположения, что рц - -рЬц и е
= е (р, р), все остальное сводится к простым математическим выкладкам и
следствия, такие, как уравнения (6.47), получаются без каких-либо
ограничений типа малой скорости течения в термодинамическом смысле.
Поскольку из выражения для S как функции от р и р можно в принципе найти
р = р (р, S), можно использовать уравнение
\РР _ 2 Рр "2___ /_?Р \ /С /о\
Dt Dt ' \ dp )s=const ^ ^
как эквивалентную форму уравнения (6.47). Величину а будем в дальнейшем
называть скоростью звука.
За исключением случаев, когда уравнения в форме законов сохранения
особенно удобны, обычно работают с уравнениями (6.44), (6.45) и либо
(6.47), лйбо (6.48). Удобно собрать их вместе
Гл. 6. Газовая динамика
158
для дальнейших ссылок:
(6.49)
Для политропного газа
(6.50)
Уравнение энтропии означает, что энтропия остается постоянной вдоль
траектории каждой частицы. В общем случае она может принимать различные
значения на траекториях различных частиц. Однако если газ первоначально
находился в покое с однородной энтропией S0, то S = S0 на траектории
каждой частицы, и, следовательно, энтропия остается при движении
постоянной. Такие течения называются изэнтропическими. В этом случае р
является функцией только от р и уравнения сводятся к первым двум из
уравнений (6.49). Для политропного газа
Если появляются ударные волны илп какие-либо другие разрывы, то эти
рассуждения должны быть пересмотрены. Дифференциальные уравнения, в
частности уравнение энтропии, справедливы только в областях, где функции
дифференцируемы. При переходе через поверхность разрыва энтропия скачком
изменяется, и в общем случае величина этого скачка зависит от времени и
точки на перемещающейся поверхности разрыва. Таким образом, первоначально
изэнтропический поток может уже не оставаться таковым после прохождения
ударной волны. Это будет подробно обсуждать-
Первые сведения о распространении волн в газовой динамике даются
акустикой, связанной с линеаризованной теорией малых возмущений
стационарного состояния. Простейший случай имеет место тогда, когда
массовыми силами пренебрегают, а стационарное состояние отвечает
постоянным значениям р = р0, р = р0, и = 0. Если первоначальное
возмущение имело однородную энтропию, то движение является
изэнтропическим и можно считать
р = у.ру.
ся в § 6.10.
6.6. Акустика
6.6. Акустика
15№
Р - Р (Р)- Тогда для малых возмущений
Р - Ро = al (Р - Ро) (6.51)
с точностью до членов выше первого порядка, причем
"о = Р' (Ро)- (6-52)
Соотношение (6.51) можно рассматривать как решение линеаризованного
