Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
согласованности здесь не приводится, но выбор такого подхода указывает на
тесную связь.
Итак, рассмотрим возможность существования разрывов первого рода у вторых
производных функции ф. Если эти разрывы находятся на поверхности S (х) =
0, причем ф и dq>/dxt остаются непрерывными, то, как и выше, можно ввести
локальные координаты, исходя из уравнения S (х) = 0, и показать, что
d2(p/dS* разрывна, тогда как остальные производные второго порядка
остаются непрерывными. Затем взяв разность пределов уравнения
(5.64) с обеих сторон поверхности ? = 0, получим
Поскольку [92ф/0S2] ф- 0, отсюда вытекает необходимое условие
существования разрыва:
5.10. Уравнения второго порядка
Линейные уравнения второго порядка, имеющие вид
(5.64)
(5.65)
(5.66)
Можно показать, что разрывы производных первого порядка и даже самой
функции ф (поскольку уравнение линейно) также
5.10. Уравнения второго порядка
143:
ограничены такими поверхностями. Но для этого необходимо более тщательное
обсуждение, включающее вопрос об уточнении понятия решения, и мы его
отложим до § 7.7, где оно будет необходимо.
Таким образом, классификация определяется квадратичной формой В
каждой точке хпри помощи некоторого линейно-
го преобразования ее можно привести к виду
щЕ? (5.67)
Если все коэффициенты at имеют один и тот же знак, то, очевидно,,
уравнение (5.66) не имеет решения; в такой точке уравнение называется
эллиптическим. Если некоторые из коэффициентов аг равны нулю, то
уравнение параболическое; в обычном случае один из а( равен нулю, а
остальные имеют один и тот же знак. Если все а( отличны от нуля, но не
все имеют одинаковые знаки, то имеем так называемое улътрагиперболическое
уравнение. В приложениях встречается только случай, когда т - 1 из т
коэффициентов а,-имеют один и тот же знак и лишь один коэффициент имеет
противоположный знак. Объяснение этого факта состоит в том, что в
противном случае поверхности, описываемые уравнением (5.66), имели бы
необычные геометрические свойства и не могли бы, например, описывать
простую интуитивно ясную картину распространения волнового фронта. В
соответствии с этим гиперболические уравнения ограничиваются этим
случаем.
Для того чтобы не связывать эту классификацию с теорией разрывов, следует
всего лишь заметить, что линейное преобразование, необходимое для
приведения квадратичной формы А к виду (5.67), можно также использовать
для введения локального преобразования координат, приводящего старший
член уравнения
(5.64) к виду
<92<р 02Ф
¦ +а'т'дХ1-
Эти рассуждения никак не связаны с вопросом о разрывах, а классификация,
как и ранее, определяется знаками коэффициентов а,-в этом члене.
Наше рассмотрение было намеренно кратким, поскольку оно никак не связано
с вопросами, рассматриваемыми ниже в этой книге. Дальнейшие подробности
можно найти во многих превосходных курсах по общей теории уравнений в
частных производных, таких, как книга Куранта и Гильберта [1] или
Петровского [1].
Глава 6
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
Как было указано в гл. 1, многие из основных идей теории гиперболических
волн, в частности объяснение явления формирования ударной волны, обязаны
своим происхождением газовой динамике. Настоящая глава посвящена
обсуждению волн и ударных волн в газовой динамике. В ней даются
естественные иллюстрации общих идей, развитых в предыдущей главе, и
добавляется ряд усилений и обобщений, которые можно продемонстрировать
только на конкретных задачах. Но, конечно, газовая динамика важна и
интересна сама по себе, так что эта глава написана как законченное
введение в предмет, а не только как иллюстрация математической теории.
Более специальные вопросы рассматриваются в следующих главах, и в целом
этот материал дает широкий обзор газовой динамики. Читатель,
интересующийся лишь общей теорией волн, может ограничиться беглым
просмотром этой главы.
6.1. Уравнения движения
Уравнения движения сжимаемой жидкости выводятся из законов сохранения
массы, количества движения (импульса) и энергии в любом выделенном объеме
жидкости. В каждом из этих законов вводятся своп собственные переменные,
описывающие баланс. Для описания потока массы требуются две величины:
плотность р (х, t) и вектор скорости u (х, t) в точке х в момент времени
t. В закон сохранения количества движения входят дополнительные величины,
описывающие действующие на жидкость силы. Это может быть массовая сила,
обычно сила тяжести, действующая на всю жидкость по всему объему. Такая
сила, отнесенная к единице массы, обозначается вектором F (х, t);
соответствующая сила тяжести равна ускорению свободного падения g,
умноженному на единичный вектор, направленный по вертикали.
На жидкость действуют также напряжения, приложенные на границе выбранного
ее объема. Напряжение, действующее на какой-либо малый элемент граничной
поверхности, считается пропорциональным площади этого элемента. В общем
случае оно зависит также от ориентации элемента поверхности.
