Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
получаем систему (5.1), причем
A'>=%' e,J='S7' (5'5?)
Понятие слабого решения применимо лишь к этим частным уравнениям вида
законов сохранения. Более того, надо особо подчеркнуть важное
обстоятельство отсутствия единственности. В типичных примерах, связанных
с системой вида (5.1), можно найти более п различных уравнений в форме
закона сохранения (5.55). Условия на разрыве (5.56), полученные при
выборе каких-либо п из них, математически будут удовлетворяться, но
правильное решение задачи дадут только те п уравнений, которые
соответствуют исходным физическим законам (5.54). Хороший пример такой
неединственности возникает в газовой динамике (см. гл. 6). Из-за такой
неединственности мы особенно подчеркиваем здесь связь с физическими
законами.
5.9. Системы с большим числом независимых переменных
Обсудим вкратце ситуацию для квазилинейных уравнений с тп независимыми
переменными в случае, когда т > 2. Систему можно записать в виде
aX_^L + fc. = 0, г = 1, ...,л, (5.58)
д:су
где зависимые переменные U] являются функциями от т независимых
переменных х1, х2, . . ., хт и суммирование проводится по v = 1, . . ., т
и / = 1, . . ., п. Аналогами характеристик, рассмотренных выше для т = 2,
служат характеристические поверхности в то-мерном х-пространстве. Их
можно ввести примерно так же, как и раньше, и они сохраняют некоторые
свойства характеристик. Однако их роль в построении решения существенно-
более ограничена.
Это ограничение связано с тем, что в общем случае нет оснований ожидать,
что найдутся такие линейные комбинации уравнений
(5.58), в которых производные от щ будут производными по одному и тому же
направлению. Для этого на систему или на решения следует наложить
условия, которые выполняются лишь в исключительных случаях. В данном
случае аналогом следует считать
5.9. Большее число независимых переменных
141
случай, когда рассматриваемые направления лежат на (т - 1)-
мерном поверхностном элементе. Если подходящая линейная
комбинация имеет вид
hal^L + hbi^O (5.59)
и поверхностный элемент лежит на поверхности 5 (х) = const, то вектор
нормали к этой поверхности имеет компоненты dS/dxv и условие
ортогональности записывается так:
Z;flii-7ir==0, /=1, ...,п. (5.60)
дх
Для существования нетривиального вектора 1 необходимо, чтобы выполнялось
условие
|a?jgr| = °. (5.61)
Поверхности, обладающие этим свойством, называются характеристическими
поверхностями. Система снова называется гиперболической, если существуют
п независимых уравнений вида
(5.59) с таким свойством. Обычно им отвечают п различных
характеристических поверхностей, но это не обязательно: достаточно
потребовать существования полной системы из п независимых векторов 1.
Однако этот выбор не упрощает решения системы в той степени, как это было
в случае т = 2, поскольку на каждой из поверхностей все же остается т - 1
связанное направление.
Ввиду этого основное свойство характеристических поверхностей в задачах о
распространении волн состоит в том, что на них находятся особенности
решения и, в частности, они описывают волновые фронты. Положим так же,
как и в § 5.5, что 5 (х) = 0 - поверхность, при переходе через которую щ
остаются непрерывными, a duj/dxv могут иметь разрыв первого рода. Из
непрерывности uj следует, что все касательные производные должны
оставаться непрерывными, так что только нормальные производные могут
претерпевать разрыв. Пусть поверхность 5=0 входит в семейство
поверхностей 5 = const, так что 5 можно использовать для построения
локальной системы координат, выбрав остальные т - 1 координат
произвольным образом; тогда разрывные производные имеют вид dUj/dS.
Следуя рассуждениям, проведенным для случая т - 2, получаем
¦* ?[#]-"• (5-62)
Следовательно, разрывы могут возникать лишь на поверхностях,
удовлетворяющих уравнению
|4-Щ = °. (5.63)
Гл. 5. Гиперболические системы
142
Это уравнение совпадает с уравнением (5.61), определяющим
характеристические поверхности. Уравнения (5.62) и (5.63) являются
обобщением уравнений (5.20) и (5.21). Как и ранее, можно получить
дальнейшие соотношения для скачков [duj/dS],
встречаются часто, и даже в случае двух независимых переменных обычно
удобнее оставлять их в таком виде, чем работать с соответствующей
системой первого порядка. Действительно, как мы видели в § 5.2, могут
возникнуть трудности, связанные с нахождением: подходящей эквивалентной
системы, если, конечно, уравнение
(5.64) не было получено из такой системы.
Существует много подходов к классификации уравнений вида
(5.64). В задачах о распространении волн важным вопросом: является
возможность существования волнового фронта, несущего разрывы производных,
и это дает простейшую связь, указывающую на согласованность с анализом,
проведенным для систем первого порядка. Очевидно, что в тех случаях,
когда уравнение
(5.64) получается из соответствующей эквивалентной системы, определения
гиперболичности должны совпадать. Подробное доказательство
