Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
данпых на границе приведет к соответствующим резким изменениям решения,
распространяющимся вдоль характеристик, проходящих через эти граничные
точки. Если такое резкое изменение представляет собой разрыв некоторых
производных функции и, то это не слишком определенное соображение
становится точным и можно ожидать, что разрывы производных
распространяются вдоль характеристик. Соответствующие результаты можно
получить непосредственно из уравнений. Рассуждения проводятся для случая
разрыва первого рода первых производных функций Uj. Производные высших
порядков и прочие особенности можно рассмотреть аналогичным образом.
Пусть | (ж, t) = 0 - гладкая кривая, разделяющая две области, в каждой из
которых и непрерывно дифференцируема. Предположим, что Uj непрерывны при
? ->- ±0 и что duj/dt и duj/dx имеют конечные пределы при ? ±0. Если
? (х, t) - достаточно
гладкая функция то можно ввести новую локальную систему
Гл. 5. Гиперболические системы
130
координат | (х, ?), т] (х, t) и записать (5.1) в виде
dui ди;
(АцЬ + o,t Лх) + (A-ifflt + Ог/'Чж) (5.17)
Эти уравнения справедливы в каждой из областей с > 0 и Е < 0: По
предположению
и1 (+0, г]) = uj (-0, ц), (5.18)
откуда
дМ + О, г]) duj( - 0, ч)
-^-=-ц-• <5Л9>
Это означает, что на кривой 1 = 0 касательные производные
непрерывны и только нормальные производные duj/d 1 могут претерпевать
разрыв. Пределы равенств (5.17) конечны при 1 +0, а все коэффициенты
непрерывны. Следовательно, взяв
разность пределов с обеих сторон, получим
(4^ + аг&.)[^] = 0, (5.20)
где
Г-1 -1-\ -(а^±\
Ldgj- \ /|=+0 \ д% /=-о'
Отсюда скачки [du;/d|] отличны от нуля лишь в том случае, когда на кривой
1 = 0
I Ajjh + atilx | = 0. (5.21)
Если кривую 1 (ж, t) = 0 описывать другим способом: х =?Х (ц),. t = Т
(ц), то
(1*, U {Х' (ri), -Т' (Ч)}.
При этом равенство (5.21) совпадет с равенством (5.6), и, следовательно,
разрывы первых производных функции и могут, иметь место только на
характеристиках.
Согласно этому утверждению, распространяющиеся разрывы исключены, если
система не имеет характеристик; в этом случае любой разрыв граничных
данных немедленно сгладится в решении. С другой стороны, существование
характеристик не является гарантией возникновения разрывов. Уравнения
дают дополнительные ограничения на [dujld 1], и, если система не
полностью гиперболическая, эти ограничения могут оказаться настолько
жесткими, что [duj/d 1] = 0. Однако, если система гиперболическая,
дополнительные соотношения не исключают разрывов, вместо этого, они дают
уравнения, определяющие изменение величин разрывов,, когда они
распространяются вдоль характеристик.
Если равенство (5.21) выполнено и выбрана конкретная характеристика, то
уравнения (5.20) дают ряд соотношений между вели-
5.6. Разложение вблизи волнового фронта
131
чинами [ди}1д%] на этой характеристике. Число этих соотношений
определяется рангом матрицы коэффициентов в (5.20). В простейшем случае
имеется п - 1 соотношение, так что все скачки [dUjldQ определяются через
один из них, или в более симметричном виде
[duj/dZ ] = oLj, (5.22)
где L - любое нетривиальное решение системы
{At}\t + аа%х) Lj = 0, (5.23)
а о на данной стадии пока не определено. Если ранг матрицы равен г, то
существуют п - г независимых решений системы (5.23) и соответствующее
число членов в (5.22) с п - г параметрами а.
Можно получить дополнительную информацию, взяв производную по | системы
(5.17) и рассмотрев разность пределов при | -> +0. Результат имеет
следующий общий вид:
И<А + ""ЫЙЙ + М*г[1г]. [ЙН. Р'24)
где Ei линейна по первому аргументу и не более чем квадратична по
второму. Хотя в основном эти уравнения дают информацию
0 скачках вторых производных [9ги,/9|2] при переходе через
1 = 0, из вырожденности матрицы
следует, что некоторые линейные комбинации величин Ег обращаются в нуль.
Отсюда получаются новые соотношения, которым должны удовлетворять
величины [ди;/д§]. Их число равно п - г (где г опять ранг матрицы), и это
в точности совпадает со степенью произвола, остающегося после решения
системы (5.20). Эти соотношения и дают искомые уравнения для параметров
а, введенных в (5.22).
Детали становятся довольно сложными, так что подробные построения мы
проведем только для случая разрывов на волновом фронте,
распространяющемся в область с постоянным однородным состоянием. Этот
пример содержит все важные черты п во всяком случае является основным
приложением теории разрывов. Мы будем также считать, что система имеет
упрощенный вид (5.9).
5.6. Разложение вблизи волнового фронта
Рассмотрим систему (5.9) в случае, когда она допускает постоянные решения
Uj = u°j. Для этого необходимо, чтобы вектор Ь не зависел от х и t и
чтобы вектор ц<0> удовлетворял условию
bt (u<°>) = 0. (5.25)
Гл. 5. Гиперболические системы
132
Тогда
Для систем вида (5.9) характеристики никогда не направлены вдоль оси х,
так что t можно использовать как параметр на волновом фронте и записать
