Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
приводится к упрощенному виду, часто вполне достаточному для приложений,
а именно к виду
Pf Ч" ирх + р их = 0,
Bt + иВх + Вих = 0,
р (ut + иих) + рх + - ВВХ = 0,
г
Д (Р* + ирх) - ^ -В- (pt + ирж) = 0;
характеристические скорости теперь равны и + (а2 + ?2/рр)1/2, и, и.
Пример 11. Нелинейные эффекты для электромагнитных волн. При простом, но,
возможно, идеализированном описании явлений нелинейной оптики можно
положить
5.3. Инварианты Римана
125
причем D = D (Е). Характеристическая форма этих уравнений такова
dB I dE п dx , ,тт\
"л ±7(?)-л- = ° на =
где с (Е) = (pZ)' {Е)}-Ч\ Дисперсионные эффекты, как правило,
противоречат соотношению D = D (Е).
Пример 12. Нелинейные упругие волны в стержне. Взяв в качестве зависимых
переменных перемещение | (х, t) сечения, первоначально расположенного в
точке х, и напряжение а (х, t), одномерное уравнение распространения волн
в стержне можно записать в следующем виде:
Poitt = Ох,
где р0 - первоначальная плотность в недеформированном состоянии. Введя
деформацию е = и скорость и - получим эквивалентную систему
Ро Щ - ох = О,
81 Ux 0.
В линейной теории полагают а и е, но можно учесть и нелинейные эффекты,
считая а более общей функцией а = а (е). Характеристические скорости
равны + {о^ (е)/р0)}1/2- При надлежащем выборе а (в) распространение
связано с интересными эффектами; в частности, несколько странно, что
ударные волны возникают в разгрузочной фазе возмущения. Этот вопрос
рассмотрен в книге Куранта и Фридрихса ([1], стр. 235).
5.3. Инварианты Римана
Каждое уравнение в характеристической форме вводит свою линейную
комбинацию производных. Для простоты мы рассмотрим упрощенную форму
(5.10), где эта линейная комбинация имеет вид Ц dui/dt. В линейной теории
вектор 1 не зависит от и, так что после введения новой переменной г =
уравнение принимает следующий простой вид:
-^г+/(ж, t, и) = 0.
В нелинейной теории, однако, 1 может зависеть от и и не всегда возможно
привести уравнение к такому виду. Для этого необходимо найти Я, и г,
такие, чтобы
lt dui = X dr,
Гл. 5. Гиперболические системы
126
или - что то же самое - чтобы
(5.13)
(Здесь х и t фиксированы; дифференциал dr относится только к приращениям
и.) Это частный случай задачи Пфаффа об интегрируемости дифференциальных
форм. Для п - 2 можно исключить г и получить уравнение для К, которое,
очевидно, имеет решение. Однако при п > 2 исключение из равенств (5.13)
как Я, так и г приводит к условиям па lt, которые являются необходимыми
условиями существования такого представления.
Для гиперболической системы п характеристических уравнений принимают
особенно простой вид, если оказывается возможным ввести переменные гк для
каждой дифференциальной формы dut. Тогда функции rk можно использовать
как новые переменные вместо щ и характеристические уравнения запишутся в
виде
Это всегда можно сделать в линейной теории, и в этом случае функции fh
линейны по г. Для нелинейпых теорий это всегда возможно при п - 2 и может
оказаться невозможным при п > 2.
Такие переменные для случая п = 2 были введены Риманом в его работе по
плоским волнам в газовой динамике. В этом частном случае (см. § 6.7)
функции Д равны пулю, так что и г2 постоянны на соответствующих
характеристиках; поэтому функции j\ и г2 называются инвариантами Римана.
В общем случае функции rk можпо называть римановыми переменными.
5.4. Интегрирование шагами при помощи характеристик
Для понимания структуры гиперболических задач, в частности таких
вопросов, как правильное число граничных условий и вид области
зависимости, полезно представлять себе процедуру построения решения при
помощи последовательных малых приращений времени. Для простоты будем
предполагать, что характеристические уравнения можпо представить в виде
(5.14), но качественно явления будут такими же и в общем случае.
Рассмотрим задачу с начальными и краевыми условиями в области х > 0, t >
0 с данными на лучах х = 0 и t = 0. Если Р - произвольная точка (ж, ^-
плоскости и если (Д - близлежащая точка, расположенная на к-й
характеристике, проходящей через точку Р, то уравнения (5.14) с точностью
до членов первого порядка
^-+h(x, t, г) = 0 на -^- = cfe(;r, t, г). (5.14)
5.4. Интегрирование при помощи характеристик
127
можно записать в виде
Гh (Р) - rk (Qk) + fh (Qh) {t (P) - t "?*)} = 0, (5.15)
x{P)-x (Qk) = ch (Qh) {t (P) - t (Qk)} (5.16)
с очевидными обозначениями величин в точках Р и Qh. Если эти уравнения
записать для всех п характеристик и если значения всех величин в точках
Qh известны, то равенства (5.15) дают п уравнений для величин rh в точке
Р. Если некоторые из ch одинаковы, то некоторые из Qh будут совпадать, но
это не имеет значения при условии, что п уравнений (5.15) образуют полную
систему.
Проведем теперь такое построение многократно, как показано на рис. 5.1.
На этом рисунке нанесены три характеристики, причем ci > с2 > 0 > с3.
Возьмем сначала точку Р после первого шага по времени; t (Р) - А/. Эта
