Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Важно, однако, обобщить условие (5.52) так, чтобы учесть-неоднородность
потока и топографию невозмущенного состояния реки. Сужение реки вверх по
течению особенно существенно для получения действительных оценок,
поскольку оно способствует опрокидыванию волн и преодолению обычно
доминирующего гасящего действия сил трения. Детали можно найти в статье
Абботта.
Приливная бора
(5.52)
Гл. 5. Гиперболические системы
138
С целью применения результатов о волновом фронте мы используем
максимальную скорость изменения высоты приливной волны для определения hx
(0). Если высота приливной волны в устье реки составляет
h = h0 -f- a sin со t,
то максимальное значение производной ht равно а со. В разрывной теории
исходное значение ht на волновом фронте равно (}/"g'h0 - v0) \ (0).
Положим поэтому
У е h0-v0
Для однородного канала условие (5.52) предсказывает образование боры в
случае, когда
a^>^(Vg% - vo) (VFho + -YV0).
Используя равенство g'S = Cfvl/h0, эту формулу можно переписать в
различных видах и наиболее удачным является, пожалуй, следующий:
">Тсл(1-;т9Е)(' + ^). е-53)
Vg'ho' ^ 2 Ve'hi> '
Для рек величина v0l~\f g'Ti^ довольно мала, так что правую часть можно
аппроксимировать первым сомножителем. Для типичных значений v0 - 5 футов
в секунду иС/ = 0,006 зто выражение дает для а недостижимое значение
порядка 100 футов. Эффекты сужения и другие факторы значительно снижают
эту величину, хотя все же необходимы исключительно высокие приливы и
быстро изменяющаяся топография. Именно по этой причине так мало рек, в
которых возникают боры. Для реки Северн Абботт установил, что ¦с учетом
всех нелинейных эффектов требуемая величина высоты прилива 2а равна 39,4
фута. Сизигийные приливы имеют среднюю высоту 41,4 фута, тогда как
средняя высота квадратурных приливов составляет 22,2 фута. Таким образом,
Абботт предсказывает, ¦что бора должна образовываться в течение примерно
четырех дней во время наиболее высоких приливов. Это, по-видимому,
подтверждается наблюдениями. Его оценки расстояния вверх по течению, на
котором образуется бора, и ее максимальной высоты также хорошо
согласуются с наблюдениями.
5.8. Ударные волны
Ситуация, возникающая в связи с опрокидыванием волн и формированием
ударных волн, во многих отношениях почти та же, что в случае одного
квазилинейного уравнения. Некоторые решения, первоначально однозначные и
даже непрерывные, переходят
5.8. Ударные волны
139
в многозначные: волны опрокидываются. Это снова интерпретируется как
неадекватность предположений, лежащих в основе вывода системы (5.1);
однако, допустив разрывные решения, можно хорошо аппроксимировать
характерные черты профиля.
Мы опять будем считать, что при выводе дифференциальных уравнений
исходными были соответствующие уравнения в интегральной форме
Хг
j ft dx+ [g|]*'+ j h dx = 0, (5.54)
Xx xt
гДе /ь Si и ht - различные величины, представляющие интерес в данной
физической задаче. Например, в задачах механики /; и gt могут быть
плотностью и потоком массы, или плотностью и потоком импульса, или
плотностью и потоком энергии. Величина ht описывает распределенные
источники, такие, как импульс массовых сил в законе сохранения импульса.
Уравнение (5.54) представляет собой закон сохранения рассматриваемой
физической величины (массы, импульса, энергии и т. д.).
Плотности fi являются функциями от (х, t) и п основных переменных и = (щ,
. . ., ип); в общем случае получается п уравнений (5.54), описывающих
соответствующие физические законы. Затем делаются различные упрощающие
предположения, связывающие gi и hi с х, t и и. В первом приближении gt и
ht будут просто функциями от х, t и и. Если и имеет непрерывные первые
производные, то уравнение (5.54) можно записать в дифференциальной форме
--^-+ ¦**1^'- + ^ (*• и)=°- <5'55)
Это закон сохранения в дифференциальной форме.
Если необходимо ввести в рассмотрение разрывы и, то следует использовать
интегральную форму (5.54), причем вопрос о зависимости gt и ht от и
сначала остается открытым. Если в точке х = s (t) возникает разрывная
ударная волна, то те же самые рассуждения, что и в § 2.3, дают условия на
разрыве
-U [/,] + [g*] = 0, i = 1, . . ., п, (5.56
где U - скорость распространения разрыва s (?). Затем можно ожидать, что
по обе стороны разрыва еще с достаточной точностью выполняются
соотношения
Si = Si (х, t, u), hi = hi (x, t, u),
справедливые в областях непрерывности решения. Следовательно, условия
(5.56) применимы с той же самой функциональной зависимостью gt от и. Как
и в гл. 2, более тщательный выбор gt связан с введением производных от и,
и разрывы переходят в узкие обла-
Гл. 5. Гиперболические системы
140
сти резкого изменения. Однако разрывная теория проще и обычно оказывается
удовлетворительной.
Формальное определение слабого решения системы (5.55), приводящее к
условиям на разрыве (5.56), почти полностью повторяет рассуждения,
проведенные в § 2.7. Вычисляя производные, входящие в уравнение (5.55),
