Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 58

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 215 >> Следующая

является О (d3). Таким образом, из уравнения (6.3) следует, что
( p*dS = 0(d3) (6.10)
s
для всех S. Соотношение (6.1), очевидно, является достаточным, поскольку
можно использовать теорему о дивергенции. Для доказательства
необходимости условия (6.1) определим сначала величины рц при ) = 1, 2, 3
как значения pt для элемента поверхности,; перпендикулярного к осям хи х2
и х3 соответственно. Применим соотношение (6.10) к частному случаю малого
тетраэдра, три грани которого перпендикулярны трем осям координат. Если
четвертая грань имеет единичную нормаль 1 и площадь AS, то площади
остальных трех граней равны проекциям ltAS, l2AS и l3AS. Тогда из (6.10)
следует, что
Pt (1) AS = Pu^iAS -f- p2il2AS -J- p3il3AS -J- О (d3),
где pt (I) и рц взяты в некоторых определяемых теоремой о среднем точках,
лежащих на соответствующих гранях. В пределе d -v 0 имеем
Pi О) = Pith + Pnh + Psih,
что согласуется с равенством (6.1). Это довольно неэлегантное
доказательство, но, по-видимому, его нельзя существенно улучшить.
Гл. 6. Газовая динамика
148
В связи с уравнениями сохранения естественно спросить, что новое вносит
закон сохранения момента количества движения (кинетического момента).
Например, мы имели бы для ж3-компо-ненты кинетического момента
{ХфЩ - Х2рщ) + - X2[)Ui) Uj - (XiPj2 - ZzPji)} =
= xipF2 - x2pFi (6.11)
и аналогичные выражения для других компонент. Если теперь в (6.11)
подставить (6.8), то большая часть членов взаимно уничтожится и останется
равенство
Ра - Р 21-
Таким образом, закон сохранения кинетического момента приводит к
симметрии тензора напряжений
Рл = Ри- (6-12)
Это ценная информация, однако она является второстепенной по сравнению с
остальными уравнениями.
Уравнения (6.7) - (6.9) дают пять соотношений для четырнадцати величин р,
ut, Pjt, gt, е. Для того чтобы система стала полной, на эти переменные
накладываются различные дополнительные соотношения.
Точка зрения кинетической теории
Чтобы лучше понять сущность различных членов в уравнениях сохранения
(6.7) - (6.9), выясним, что они представляют собой с точки зрения
молекулярной теории. Скорости молекул распределены в некотором интервале,
и параметры течения связаны с функцией распределения / (х, v, t), которая
определяется так, что величина
/ (х, v, t) dxt dx2 dx3 йиг dv2 du3
представляет собой вероятное число молекул в элементе объема dxx dx2 dx3
с центром в точке х и со скоростями в области dvx dv2 dv3 с центром в
точке v. Плотность и макроскопическая скорость и определяются равенствами
оо оо
р= | mfdx, put - j mVifdx, (6.13)
где m - масса одной молекулы и | dx - тройной интеграл по всем значениям
vl2 v2) vs. Полный поток г-й компоненты импульса
6.2. Точка зрения кинетической теории
149
через поверхность с вектором нормали 1 составляет
j mVi{ljVj)fd\. (6.14)
Положим v = и + с, так что с равно отклонению молекулярной скорости от
средней скорости и, определяемой равенством (6.13); тогда последнее
выражение можно записать так:
lj ^ utUj | mfdc-^щ | mCjf dc + щ | mCjf dc -f- j me,с j/dc) .
В силу определения с как отклонения от средней скорости второй и третий
члены равны нулю и остается
| mctcjfdcj. (6.15)
Для идеализированного газа, у которого межмолекулярные силы ограничены
практически мгновенными соударениями молекул, это единственный вклад в
интеграл по поверхности, входящий в уравнение (6.3), и, следовательно,
- pt=lj ^ mciCjfdc. (6.16)
Это равенство согласуется с формулой (6.1) и позволяет записать тензор
напряжений в следующем виде:
- Pji = j mCiCj'dc,; (6.17)
условие симметрии (6.12), очевидно, выполняется. Таким образом* вклад
поверхностных напряжений в (6.3) можно интерпретировать
как дополнительный поток импульса, создаваемый движением
молекул относительно среднего.
Каждая молекула обладает кинетической энергией поступательного движения,
равной V2 mvf. Молекулы также могут обладать колебательной или
вращательной энергией, но здесь мы рассмотрим одноатомный газ, для
которого эти дополнительные формы энергии отсутствуют. В этом случае
полная энергия на единицу объема составляет
j у mvf fd\=~ pul + J -meffde. (6.18)
Гл. 6. Газовая динамика
150
Следовательно, в интеграле по объему в уравнении (6.4) член, описывающий
внутреннюю энергию, можно интерпретировать как дополнительную энергию
движения молекул относительно среднего, так что
ре - j -mcifdc. (6.19)
Поток энергии через элемент поверхности с нормалью 1 равен j" ~ mv\ IjVjf
d\.
При помощи уже введенных величин это выражение можно представить в виде
h (у Рu*ui + peUj-pnUi+qj} , (6.20)
где
59= j jmcfcjfde. (6.21)
Сравнивая этот результат с уравнением (6.4), видим, что выражение
(6.20) совпадает с выражением для потока энергии в (6.4) и что
тепловой поток q интерпретируется как перенос молекулами излишка
молекулярной знергии.
Даже при рассмотрении идеального газа важно включить в рассмотрение
колебательную и вращательную энергию, которой обладают двухатомные и
более сложные молекулы. Следует добавить эту энергию к выражению (6.19),
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed