Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
а также учесть соответствующий вклад в вектор теплового потока (6.21).
Основной результат статистической механики состоит в том, что различные
формы энергии достигают равновесия с равными вкладами от каждой степени
свободы. Это позволит нам при необходимости обобщить результат
(6.19), не вдаваясь в подробности.
Такая интерпретация напряжения, внутренней энергии и теплового потока в
терминах случайного молекулярного движения показывает, что различные
величины, введенные в равенствах
(6.7) - (6.9), не только являются специально подобранными переменными,
отражающими все важные эффекты, которые только пришли к нам в голову, но
и укладываются в содержательную схему все более и более высоких моментов
функции распределения по скоростям. Действительно, в собственно
кинетической теории основное уравнение формулируется для /, а затем
уравнения сохранения (6.7) - (6.9) выводятся как его следствия. В
качестве
'6.3. Уравнения без учета вязкости и т. п.
151
уравнения для / обычно принимают уравнение Больцмана или какое-либо
приближение к нему.
Вернемся теперь к уравнениям сплошной среды.
6.3. Уравнения без учета вязкости, теплопередачи и релаксации
Для газа в равновесном состоянии при отсутствии массовых сил справедливо
следующее.
1. Напряжение на любом элементе поверхности направлено по нормали к зтому
элементу и не зависит от его ориентации, так что
от давления и плотности. Вид этой функции устанавливается на основе
эксперимента и различных термодинамических соображений.
Если газ неоднороден и находится в движении, то ни одно из этих
соотношений, строго говоря, не выполняется. Однако если производные по
времени и по пространственным переменным не слишком велики, то указанные
формулы во многих случаях являются хорошим приближением. С учетом этих
соотношений основные уравнения сохранения образуют полную систему
уравнений для пяти параметров течения р,р, ut. Эти уравнения имеют вид
-§t(y pMi + pe) + -^r{(yPMi + pe-|-/>) =р FtUi. (6.27)
В случае когда эти уравнения предсказывают ударные волны или другие
области с высокими градиентами, используемые формулы, возможно, потребуют
уточнения.
Первое предположение (6.22) соответствует пренебрежению влиянием вязкости
и может быть улучшено в приближении Навье- Стокса добавлением членов,
линейных по градиентам скорости duj/dxi- Второе предположение (6.23)
связано с пренебрежением
Рп = - p6Jh
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
Гл. 6. Газовая динамика
152
теплопередачей, и его можно улучшить, положив q пропорциональным
градиенту температуры. Итак, в приближении Навье - Стокса формулы (6.22)
и (6.23) заменяются следующими:
Р"--Рв"-(6.28) 5.--^, (6.29)
где [1 и X - коэффициенты вязкости и теплопроводности соответственно.
Температура Т связана с р и р уравнением состояния газа.
Третье предположение (6.24) означает, что газ находится в состоянии
локального термодинамического равновесия. В изменяющихся течениях
внутренняя энергия всегда стремится к равновесному значению,
соответствующему новым условиям. Однако при этом существует некоторая
задержка во времени, особенно для установления колебательной и
вращательной энергии. Такое явление называется эффектом релаксации, а
характерное время задержки - временем релаксации. Это интересный, но
несколько частный вопрос, так что детали мы отложим и приведем в качестве
примера в гл. 10.
6.4. Термодинамические соотношения
Мы могли бы просто считать, что в равенстве (6.24) е(р, р) представляет
собой некоторую известную эмпирическую функцию. Однако термодинамические
соображения не только снабжают нас необходимыми формулами, но и
подсказывают, какие существенные параметры надо ввести в рассмотрение.
Целесообразно привести здесь только цепочку необходимых математических
формулировок и отослать читателя к многочисленным стандартным курсам для
обоснования результатов и выяснения их физического смысла.
Дифференциальная форма
de + pd^'j (6.30)
играет в термодинамике фундаментальную роль. Впервые она встречается при
рассмотрении последствий приобретения единичной массой гаэа
дополнительной энергии. Если энергия добавляется сравнительно медленно,
так что резкого изменения давления не происходит, то работа, совершаемая
при увеличении объема 1/р на d (1/р), равна pd (1/р). Остальная часть
энергии должна идти на увеличение внутренней энергии на de. При этих
условиях выражение (6.30) равно общему количеству приобретенной энергии.
Но в любом случае для заданной функции е (р, р) это заданная
6.4. Термодинамические соотношения
153
дифференциальная форма двух переменных р и р. Согласно теореме Пфаффа,
для нее всегда существует интегрирующий множитель, т. е. существуют
функции Т (р, р) и S (р, р), такие, что
TdS = de+pd(j)). (6.31)
Это простое математическое утверждение приобретает глубокий смысл, если
учесть, что Т - абсолютная температура, a S - энтропия.
В более сложных системах наряду с р и р появляются другие
термодинамические переменные (такие, как концентрация различных фаз
