Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение волнового фронта в виде х = - X (?). Вместо того чтобы
вычислять пределы производных с помощью уравнений, в задаче о волновом
фронте особенно удобно использовать эквивалентный способ разложения
решения по степеням
| = х - X (t).
Если первые производные разрывны, то удобно строить решение в следующем
виде:
u,= uf\ 1> 0, (5.26)
i4 = uW + uV{t)l-\-\-uW(t)l*+1<°- (5.27)
ЙчМРИ'ЧО, [|Г|=-"(¦>"), (5.28)
и производные высших порядков аналогичным образом связаны с другими
коэффициентами.
Разложение в степенной ряд удобно для обобщения на особенности иного
вида. Если наинизшие производные, имеющие разрывы,- это производные т.-го
порядка, то степенной ряд после uf содержит члены порядка кроме того,
можно включить особенности, соответствующие разложению по дробным
степеням | 1 | пли по степеням In | | |. Вопросы сходимости здесь не
существенны, мы используем формальные степенные ряды как способ
вычисления производных, которые можно было бы получить и переходом к
соответствующим пределам в уравнениях.
Коэффициенты в (5.27) получены подстановкой ряда в (5.9) и
последовательным приравниванием коэффициентов при степенях | к нулю. Если
величины ац - функции от ж, t и и, то их следует разложить в степенные
ряды по ? с коэффициентами, зависящими от t. Таким образом,
/да№ да^ \
""="!?'+K^<>+-s-) + -". <5-29>
где нулевой верхний индекс означает, что аргументы у соответствующих
функций равны х = X (t), t и u = u(0). Однако, выписывая окончательные
уравнения для u)m> (t), мы будем для простоты опускать нулевой верхний
индекс. Подстановкой в (5.9) получаем
at/uW-cult> = 0, (5.30)
vs2>-"<¦>+ {^sr+S1' + (тг+а?)f>} -° <5-31>
5.6. Разложение вблизи волнового фронта
133
ит. д., причем с означает X. Эти равенства, конечно, соответствуют
(5.20) и (5.24).
Из (5.30) мы выводим прежде всего, что скорость X = с должна
удовлетворять уравнению
I ац - c6i7- | = 0 (5.32)
и волновой фронт должен быть одной из характеристик. Если будем считать,
что ранг матрицы в (5.30) равен п - 1, то получим
и?> = oLj, (5.33)
где Lj - произвольное нетривиальное решение уравнения
(аи - сб") Lj = 0. (5.34)
Существует также нетривиальный собственный вектор 1, удовлетворяющий
уравнению
k (cijj - с8и) = 0. (5.35)
(Это левый собственный вектор, отвечающий характеристической форме
(5.10).) С учетом этого из уравнения (5.31) можно исключить члены с uf' и
получить
(ЩО) ЙЯ; ; / ЙЯ: ; ЯГ). \
!< ТГ + '¦ + h (-аг+gj) "i"- °- Р-36"
Наконец, подставляя сюда выражения (5.33) для и)'\ приходим к уравнению
liLt% + Qo* + Po = 0, (5.37)
где liLt, Q и Р - известные функции от t.
Для гиперболических систем можно показать, что 0.
В других случаях, однако, может оказаться, что = 0, Q = 0, Р =7^ 0, и
придется заключить, что а = 0, т. е. что разрывы невозможны. Например,
для системы
Щ - v = 0,
vt - ux = 0,
эквивалентной уравнению теплопроводности, в котором t и х переставлены
для того, чтобы привести ее к каноническому виду
(5.9), двойными характеристиками являются прямые х = const. Однако 1 =
(1, 0), L = (0, 1), Q = 0, Р - -1, так что разрывы невозможны.
Для гиперболических систем уравнение (5.37) записывается так:
-дг i go2-[ /)a = 0. (5-38)
Гл. 5. Гиперболические системы
134
Это уравнение Риккати, которое можно решить в явном виде и найти
изменение а (а следовательно, и и'/') вдоль волнового фронта.
Если исходная система линейна, то коэффициенты не зависят от и н
квадратичный член отсутствует. Тогда решением является
t
a (t) - o (0) e-n(n, pi (t)= j p (t') dt', (5.39)
о
где a (0) определяется начальными условиями. Заметим, в частности, что
разрывы в решении могут появиться только как следствие соответствующих
разрывов граничных и начальных условий. Более того, раз появившись, они
не могут исчезнуть за конечный интервал времени.
Для нелинейных систем с q Ф 0 уравнение (5.38) можно переписать следующим
образом:
* (±)_Л_9 = 0;
dt \ а / а 4 '
тогда решение имеет вид 1 ер1(<)
0(0)
+ J q (О е-мО') dt'. (5.40)
Снова разрывы, однажды появившись, не могут исчезнуть за конечный
интервал времени, они могут лишь стремиться к нулю при t -*¦ оо. Однако в
нелинейном случае открывается новая возможность, состоящая в том, что а -
> оо при конечном значении t. Реализация этой возможности зависит от
знаков р (t), q (t) и от величины а (0). Пусть, например, речь идет об
уравнении
-^vo2-per, (5.41)
где р, v - положительные постоянные и а (0) = а0 >¦ 0. Если а0 < p/v, то
правая часть уравнения (5.41) в начальный момент отрицательна, так что а
начинает убывать. Но тогда правая часть остается всегда отрицательной и а
продолжает убывать. В пределе а -> 0 как е~^1 при t -*- оо. Однако если
а0 > p/v, то справедливо обратное и а монотонно возрастает. Со временем
член va2 начинает доминировать и в результате а оо при конечном значении
времени. Решение можно записать в следующем явном виде:
Г_~_Г11Г- (5-42)
v 00-(а0-p/v) ец
Если а0 - p/v >0, то а ->- оо при
- In г.
