Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Aii-aT + aU-te+bi = U, i=*l к. (5.1)
где матрицы А, а и вектор Ь могут быть' функциями от щ, . . . . . ., ип,
а также от ж и t. (Напоминаем, что здесь и ниже, если не оговорено
противное, автоматически проводится суммирование по повторяющимся
индексам.)
В этой главе мы установим условия, при которых система (5.1) является
гиперболической, и обсудим некоторые общие следствия гиперболичности.
Будут сделаны отдельные краткие замечания о ситуации, которая возникает в
случае нескольких пространственных переменных, но этот случай большего
числа измерений будет рассматриваться в основном применительно к
конкретным задачам, причем будет существенно использоваться то
обстоятельство, что в любой малой области двух- или трехмерные волны
локально ведут себя как плоские.
Гл. 5. Гиперболические системы
116
5.1. Характеристики и классификация систем
Ключом к решению одного уравнения первого порядка, как показано в гл. 2,
служит использование семейства характеристик в (ж, ?)-плоскости;|вдоль
каждой характеристики уравнение в частных производных сводится к
обыкновенному дифференциальному уравнению. В некоторых случаях затем
удается найти решение в аналитическом виде. Но в худшем случае уравнение
в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений с последующим пошаговым численным интегрированием. В любом
варианте решение можно построить последовательным "локальным"
рассмотрением малых областей; не обязательно вычислять сразу все решение
в целом. Это, конечно, соответствует основным идеям волнового движения:
за любой малый интервал времени на поведение в выбранной точке могут
оказать влияние только те точки, которые расположены настолько близко,
что волны от них успевают дойти вовремя. Поставим следующий вопрос:
возможны ли такие локальные вычисления для системы
(5.1)? Если они возможны, то система является гиперболической и можно
сформулировать соответствующее точное определение.
В общем случае любое из уравнений (5.1) включает различные комбинации
du}ldt и duj/dx для каждого щ. Это значит, что оно содержит информацию о
скоростях изменения различных функций щ в различных направлениях и нельзя
получить информацию об этих скоростях для всех щ в каком-либо едином
направлении. Но мы можем провести различные преобразования системы п
уравнений (5.1) и посмотреть, нельзя ли получить такую инфор-
мацию из какой-либо их комбинации. Рассмотрим поэтому линейную комбинацию
(dut dui \
Aii~dT + аЦ ~д7) +llbi = °' (5-2)
где вектор 1 - функция от х, t и и, и выясним, можно ли выбрать вектор 1
так, чтобы уравнение (5.2) приняло вид
/ dut dili \
т'(р1Т + "-дг) +=°- <5-3>
Если это возможно, то уравнение (5.3) дает связь между производными всех
U) по единому направлению (а, Р). В этом случае целесообразно ввести в
(х, г)-плоскости кривые, определяемые векторным полем (а, Р). Если х = X
(rj), t - Т (rj) - параметрическое представление одной из таких кривых,
то полная производная функции Uj вдоль этой кривой равна
dtti rpt diij у, Он,j
5.1. Характеристики и классификация систем
117
Не теряя общности, можно положить
а = X'(rj), р = Г(ц) и переписать (5.3) в виде
(5.4)
Условия того, что уравнение (5.2) можно представить в форме
(5.4), имеют вид
liAij - Tiij Т , I'ifl'tj rrijX , и исключая m,j, получаем
Имеем п уравнений для множителей lt и направления (X', Т'). Поскольку они
однородны по ij, необходимым и достаточным условием существования
нетривиального решения является обращение в нуль определителя
Это условие определяет направление кривой. Такая кривая называется
характеристикой, а соответствующее уравнение (5.4) называется уравнением
в характеристической форме.
Каждое уравнение в характеристической форме дает только одну связь между
п производными функций Uj вдоль соответствующей характеристики. Как мы
увидим ниже, для возможности локального построения решения в некоторой
малой области требуется существование п независимых уравнений в
характеристической форме. Это условие является основой определения
гиперболической системы.
Сначала, однако, следует отметить сравнительно слабое, но важное
ограничение, наложенное на системы, к которым применимо это определение.
Ограничение касается матриц коэффициентов Л и а. Сразу видно, что одна из
них или даже обе они могут быть вырожденными.
Если определитель | А и | = 0, то Т' - 0 является решением уравнения (5-
6), а ж-направление - характеристическим, если же | atj | = 0, то X' - 0
является решением, ^-направление - характеристическим. Несомненно,
допустимо, чтобы оси были характеристиками, и эти возможности следовало
бы включить в рассмотрение. Однако в некоторых случаях, когда обе матрицы
оказываются вырожденными, системы так сильно вырождаются, что подобные
возможности следует исключить.
Эти две ситуации можно различить, проверив, устраняются ли трудности при
повороте осей. Если беда лишь в том, что исходные оси совпадают с
характеристиками, то поворот осей приведет к новой системе с
