Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
невырожденными матрицами. Поворот осей
h (AtJX' - аиГ) = 0.
(5.5)
! AijX' - ацТ' | = 0.
(5.6)
Гл. 5. Гиперболические системы
118
заменяет исходные матрицы в (5.1) их линейными комбинациями.
Следовательно, соответствующее условие состоит в том, чтобы
| %Ац-\- uciij | ^ 0 (5-7)
для некоторых К, р, не равных нулю одновременно, и не требуется проводить
соответствующее преобразование в явном виде. Если условие (5.7) никогда
не выполняется, то имеем вырожденный случай, который следует исключить. В
последнем случае все направления формально являются характеристическими и
все построения незаконны. Судя по примерам, приведенным в следующем
параграфе, системы, так сильно вырожденные, содержат лишние неизвестные,
исключение которых может привести к системам с коэффициентами, уже
удовлетворяющими условию (5.7).
Учитывая это ограничение, можно ввести следующее определение.
Определение. Система (5.1), удовлетворяющая условию (5.7), называется
гиперболической, если существуют п линейно независимых вещественных
векторов l(fe>, k = 1, . . ., п, таких, что
/(/!) {Лиа*> - a,fiw} = 0 (5.8)
для каждого к, и соответствующие направления {а<,;), fV,;)} вещественны,
причем а',!)2 -f- f><fe)2 Ф 0.
Следует отметить, что ударение здесь делается на существование п
независимых векторов l(fe> и что не требуется, чтобы соответствующие
направления (сг<,!), Р(,<)) были различны. Если все эти направления
различны и существуют п различных семейств характеристик, то система
называется строго гиперболической, но мы будем мало пользоваться этим
термином. Как мы увидим ниже, возможны случаи, когда уравнение (5.6)
имеет менее чем п различных решений, и тем не менее существуют п
независимых векторов 1.
Частный случай Aij=bij. Во многих задачах система (5.1) принимает
специальный вид
^-^-/, = 0, (5.9)
т.е. матрица А является единичной матрицей. В других случаях система
сводится к такому виду умножением на А_1 (после замены координат, если
исходная матрица А особенная). Редко имеет смысл подробно проводить
соответствующие преобразования, но в случае необходимости можно, не теряя
общности, пользоваться такой формой системы (5.1). Из (5.6) следует, что
в этой форме записи Т' Ф 0, так что характеристики никогда не будут
направлены вдоль оси х. Следовательно, их можно параметризовать са-
5.2. Примеры классификации систем
119
мим t и описывать уравнениями вида х - X (t). Линейная комбинация
г)и ¦ &ui
1^+11аи^+1А = О принимает характеристическую форму
1>% + 1гЪг = 0 па (5.10)
при условии, что
han = hc' (5.11)
В частности, характеристическая скорость с должна удовлетворять уравнению
I аи - сЬа | = 0. (5.12)
Возможные корни с являются собственными числами матрицы я, а векторы 1 -
соответствующими левыми собственными векторами.
Следующие два утверждения вытекают из известных теорем линейной алгебры.
Собственные векторы 1, отвечающие различным собственным числам с, линейно
независимы. Поэтому система является гиперболической, если уравнение
(5.12) имеет п различных вещественных корней с.
Если а - вещественная симметрическая матрица, то все корни уравнения
(5.12) вещественны и существуют п линейно независимых собственных
векторов. Поэтому система является гиперболической, если а - вещественная
симметрическая матрица.
5.2. Примеры классификации систем
Прежде чем приступить к использованию уравнений в характеристической
форме и изучению дальнейших свойств характеристик, проиллюстрируем наши
идеи несколькими примерами и покажем некоторые трудности, которые могут
возникнуть при классификации систем.
Пример 1. Прежде всего рассмотрим волновое уравнение
utt Уихх ~ 0*
Введя новые функции v = их и w ии его можно переписать в виде системы
vt-u'x= 0,
щ - уих = 0.
Гл. 5. Гиперболические системы
120
Линейная комбинация
к (vt - и'х) + 12 {т - yvx) - 0 принимает характеристическую форму
к (vt + cvx) + U (т + cwx) = 0,
если
- yl2 = clu - cZj.
Нетривиальное решение существует, когда с2 = у. Если у > 0, то можно
положить
c=+Vy> h=-V~y, h = U
с= - у у, 1± = ±Уу, г2=1.
Два вектора 1 линейно независимы, так что система является
гиперболической. Если у <С 0, то не существует вещественных
характеристических форм; действительно, в этом случае уравнение является
прототипом эллиптических уравнений.
Пример 2. Уравнение теплопроводности и^ ихх - 0
эквивалентно системе
Щ - vx = 0, их - v =0.
Ясно, что комбинация
k {Щ - vx) -f I, {их - v) = 0
может иметь характеристическую форму лишь при 1г = 0. Таким образом,
единственным решением (с точностью до числового множителя) является 1 =
(0, 1). Поскольку для системы второго порядка существует только один
вектор 1, она не является гиперболической. Если следовать общему
формализму, то уравнение (5.6) в данном случае сводится к
X' Т
_т, 0 =0, т. е. Г2 = 0.
Таким образом, ось х является двойной характеристикой, но для нее
существует единственная характеристическая форма
их - v = 0.
Пример 3. Простейшее гиперболическое уравнение второго порядка вида
