Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Детали здесь не приводятся, поскольку такое же подтверждение дает
уравнение Бюргерса, с которым проще работать. Несколько сходный анализ
проводится в гл. 10 в ином контексте.
Для процессов обмена обе постоянные а = А\А и р = к2В положительны. При
таких знаках равновесное состояние всегда устойчиво. Это можно проверить,
рассмотрев возмущения уравнения (3.74). Заметим, что волны низшего
порядка распространяются со скоростью
рг
со- а+р *
в то время, как скорости волн высшего порядка равны с_ = 0 и с+ = V.
Поэтому при а > 0, ft > 0 критерий устойчивости с_ <; с0 < с+ всегда
выполняется.
Глава 4
УРАВНЕНИЕ БЮРГЕРСА
Простейшим уравнением, отражающим как эффекты нелинейного
распространения, так и эффекты диффузии, является уравнение Бюргерса
ct + ссх = хсхх. (4.1)
Выше было показано (см. (2.28)), что это уравнение является точным для
волн, описываемых уравнениями
Pt + Qx = О, Q = Q (Р) - vpx, (4.2)
в случае когда Q (р) - квадратичная функция. В общем случае, когда в
рассматриваемой задаче существенны оба эффекта, обычно существует способ
вывода уравнения (4.1) либо как достаточно точного приближения, либо как
удобной основы для грубых оценок.
В случае произвольной зависимости Q (р) в уравнениях (4.2) можно,
например, получить уравнение
ct + ссх = хсхх - хс" (р) рж2, (4.3)
где, как обычно, с (р) = Q' (р). Отношение хс" (р) рж к хсхх имеет
порядок амплитуды возмущения, и следует ожидать, что уравнение (4.1)
является хорошим приближением для малых амплитуд. В этом случае полагают,
что пренебрежение данным весьма малым членом не создает накапливания
ошибок (скажем, при t ->¦ оо), неизбежно приводящего к неравномерности
приближения. Для сравнения напомним, что линеаризация левой части вида ct
+ + с0сх, где с0 - некоторое постоянное невозмущенное значение, в этом
отношении катастрофична. Но для проверки можно установить, что в решении,
описывающем структуру ударной волны (см. § 2.4), где наибольшими являются
диффузионные члены, в области ударной волны член хс" (р)р* остается по
порядку величины меньше, чем хсхх.
Эти рассуждения можно положить в основу формального разложения в ряд
теории возмущений по надлежащим образом выбранному малому параметру. С
другой стороны, тот факт, что члены, оставленные в уравнении (4.1),
описывают понятные и важные явления, тогда как член хс" (р)р* является
скорее математической помехой, позволяет предположить, что уравнение
(4.1)
Гл. 4. Уравнение Бюргере;
100
окажется полезным для качественного описания даже вне области, где оно,
строго говоря, применимо.
Аналогичным образом уравнение Бюргерса оказывается полезным для систем
высшего порядка, таких, как (3.2)-(3.3), в которых отражаются и
нелинейное распространение, и диффузия. Конечно, оно применимо лишь в
устойчивой области и для тех частей решения, где доминируют волны низшего
порядка. Соответствующие результаты легко находятся и обычно
подтверждаются более строгими рассуждениями. В случае системы (3.2)-(3.3)
из уравнения (3.6) следует, что эффективный коэффициент диффузии равен v*
= v - (v0 - с0)2т, так что именно это значение следует использовать в
уравнении (4.1). Действительно, уравнение (3.6) является полностью
линеаризованным уравнением Бюргерса для рассматриваемой системы.
Теперь наша главная цель - показать, что точное решение уравнения
Бюргерса подтверждает идеи об ударных волнах, развитые в гл. 2. Иначе
говоря, мы хотим проверить, что при v ->• 0 (в надлежащем безразмерном
виде) решения уравнения (4.1) сходятся к решениям уравнения
ct + ссх = 0 (4.4)
с разрывными ударными волнами, удовлетворяющими условию
U = V, (сх + с2), c2>U> сх, (4.5)
и линиями разрывов, указанными в § 2.8.
4.1. Замена Коула - Хопфа
Независимо друг от друга Коул [1] и Хопф [1] получили замечательный
результат, заключающийся в том, что уравнение (4.1) можно свести к
линейному уравнению теплопроводности нелинейной заменой
с= (4.6)
Эта замена аналогична найденному ранее Томасом преобразованию
уравнений обмена, описанному в § 3.4. Это преобразование
тоже удобно провести в два этапа. Положим сначала
с = Ф*;
тогда, проинтегрировав уравнение (4.1) получим
ф* + Vs Ф! =
Положим теперь
ф = -2v In ф,
4.2. Поведение решения при v -* О
101
откуда
Ф* = тф**. (4.7)
Такая нелинейная замена полностью исключает нелинейный член. Общее
решение уравнения теплопроводности (4.7) хорошо известно, и его можно
получить различными способами.
Основная задача, рассматривавшаяся в гл. 2,- это задача с начальными
условиями
с = F (х) при t = 0.
Преобразованием (4.6) эти условия переводятся в следующие начальные
условия:
ЭС
ф = ф(х) = ехр{ -J F(r])dT]} , < = 0, (4.8)
о
для уравнения теплопроводности. Решение ф имеет вид
? Ф (Ч) "Р { ~ Trt2'} *>• (4'9>
Следовательно, в силу равенства (4.6), для с имеем формулу j JLZHe-
GAZv)*,
с (х, t) = - °° ------------, (4.10)
j e-G/^d4
где
•о
G (щ х, t) = j F (V) di\' -f --. (4.11)
о
4.2. Поведение решения при v->-0
