Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь поведение точного решения (4.10) при v -> 0, причем х,
t и F (х) фиксированы. Когда v ->• 0, основной вклад в интегралы,
входящие в формулу (4.10), дают окрестности стационарных точек функции G.
Стационарная точка - это такая точка, где
-^¦ = ^(4)-^ = 0. (4.12)
Гл. 4. Уравнение Бюргерса
102
Пусть г] = ? (ж, ?) - стационарная точка, т. е. % (х, t) определяется как
решение уравнения
F (c) - ~ 0- (4-13)
Вклад окрестности стационарной точки т) = % в интеграл | g [т]) e-^V&v)
dt]
-ОО
равен
(c)/W
4ят
I g" (c) I
е-(КШ 2v).
это обычная формула метода перевала.
Предположим сначала, что существует только одна стационарная точка | (х,
t), удовлетворяющая уравнению (4.13). Тогда
f ~Р~ e_C/(2v) rfrl ~ ^ [/e-G(r)/(2v)( (4.14)
j e-G/(2v) ^ ~ e-GMW, (4.15)
и из равенства (4.10) получаем
i, (4.16)
где | (ж, 0 определяется уравнением (4.13). Полученное асимптотическое
решение можно переписать следующим образом:
C = F(r)' (4.17)
x=l+F{l)t. К }
Это в точности совпадает с решением уравнения (4.4), приведенным в (2.5)-
(2.6); стационарная точка ? (х, t) соответствует характеристической
переменной.
Однако мы видим, что при достаточно больших значениях времени формулы
(4.17) в некоторых случаях дают многозначное решение и приходится вводить
разрывы. В то же время решение (4.10) уравнения Бюргерса, очевидно,
однозначно и непрерывно для любого t. Дело в том, что, когда достигается
такая стадия, появляются две стационарные точки, удовлетворяющие
уравнению (4.13), и необходимо пересмотреть предыдущий анализ
асимптотического поведения. Если обозначить эти две стационарные точки
через и |2, причем > |2, то как от ?15 так и от ?2 получатся вклады вида
(4.14) и (4.15). Следовательно, главная часть
4.2. Поведение решения при v ->• О
103
I G" (Si) Г1/2 e_G(l,)/(2v) + |G" (|2) Г1/2 e-G(S2)/(2v)
+
{(*-&)/*} I g" (6я) 1~1/2
(4.18)
I G' (6i) | -1/2 e-G<^')/(2v) + j G. {Ы | -1/2 e-G(b)/(2v)*
Когда G (Si) ф G (|2), наличие в экспонентах малого знаменателя v делает
один из членов преобладающим при v ->• 0. Если G (Si)< < G (12), то
если же G (Si) > G (|2), то
В каждом из этих случаев справедливо решение (4.17), где либо ? = Si,
либо S = Sa- Но выбор теперь однозначен: и Si, и Sa являются функциями от
(х, t), критерий G (Si) 5== G (|2) определяет выбор Si или Si при
заданных (х, t). Переход от Si к Sa происходит в тех точках (х, t), где
Поскольку и Si, и Sa удовлетворяют уравнению (4.13), последнее условие
можно записать в виде
Это в точности совпадает с уравнением (2.45) для определения разрыва.
Изменение выбора членов в (4.18) приводит в пределе v ->- 0 к разрыву
функции с (х, I). Все остальные утверждения § 2.8 можно подтвердить
аналогичным образом. Таким образом, мы приходим к выводу, что решения
уравнения Бюргерса при v -> 0 переходят в решения уравнения (4.4) с
разрывами (4.5).
В действительности v фиксировано, но сравнительно мало, и следует
ожидать, что предельное решение при v -> 0 обычно будет хорошим
приближением. Поскольку v - размерная величина, для обоснования этих
рассуждений необходимо измерять v в безразмерных единицах, введя ее
отношение к какой-либо другой величине той же размерности. Это нетрудно
сделать. Например,
о о
S1
= J W)*]'. (4-20)
Гл. 4. Уравнение Бюргерса
104
в задаче с одиночным горбом, где F (х) имеет изображенную на рис. 2.9
форму, можно ввести параметр
A - J {F (х)- c0}dx. (4 21)
Размерности величин А и v равны Ь2Т~г, так что
Д-5Г <4'22>
является безразмерным числом, и мы говорим, что v мало, если R 1. Если
длина горба равна L, то число R характеризует отношение нелинейного члена
(с - с0) сх к диффузионному члену \схх в области, где характерный масштаб
по х для производных равен L. (В области ударной волны, например,
характерны более короткие расстояния.) Следуя принятой в теории вязкой
жидкости терминологии, удобно называть R числом Рейнольдса.
Даже после уточнения смысла понятия "малое V" остается
различие между предельными решением при v -> 0 и решением
при фиксированном малом v. Как было показано в (2.26), толщина ударной
волны стремится к бесконечности, если ее интенсивность стремится к нулю.
Следовательно, для фиксированного R, если даже оно сколь угодно велико,
любое решение, описывающее формирование ударной волны или ее затухание
при t ->• оо, не всегда будет хорошо аппроксимироваться разрывной теорией
в этих областях. Что касается области формирования ударной волны, точные
подробности обычно несущественны и достаточно иметь хорошую оценку самой
области, где она образуется, а не детальный вид профиля, но это и
обеспечивается разрывной теорией. Эффекты диффузии в затухающих при t-*~
оо ударных волнах более интересны. Мы разберем эти вопросы на характерных
примерах в следующих параграфах.
4.3. Структура ударной волны
Профиль ударной волны для уравнения (4.1) удовлетворяет уравнению
-Ucx + ссх = vcxx, X = x-Ut,
откуда
V2 с2 - Uc + С = VC*.
Если с cltca при X -> ± оо, то
