Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
где все функции вычисляются при sn (t) и ошибки имеют поря-
док Д2 и /г2. Уравнение (3.22) можно переписать в виде
А.}, (ДиД + Ч ; t} = v{sn-ut) - v(sn,t)
и приближенно заменить уравнением
ht -|- vhx^= hvx, где х= _ (3.26)
В этом уравнении ошибки имеют третий порядок по h (в силу центрирования h
в средней точке (sn -j- sn)/2), так что оно верно и в первом и во втором
порядках. В переменных р = l/h, V (р) = = G (h) уравнения (3.25) и (3.26)
принимают вид
" + (vt + wx) Д = V (р) + рх, (3.27)
Pt + (pv)x = о. (3.28)
В низшем порядке по Д и h будем иметь
v = V (р), р, + (ри)* = 0,
Гл. 3. Конкретные задачи
84
что в точности совпадает с уравнениями кинематической теории. Разности
подобраны таким образом, что поправки следующего порядка оставляют
неизменным уравнение сохранения (3.28).
Уравнения (3.27) и (3.28) будут эквивалентны уравнениям (3.2) и (3.3),
если положить
т = Д, v = - V2 V' (р).
Поскольку V - с = - рГ' (р), критерий устойчивости (3.7) можно записать в
виде
2р2 | Г (р) | Д < 1, или, в эквивалентной форме,
2G' (h) Д < 1.
Именно это условие было обнаружено в дискретных моделях потока транспорта
(Чендлер, Херман и Монтролл [1]; Коментани и Саса-ки [1]). Аналогичным
образом структура ударной волны, изученная нами на основе уравнения
(3.2), должна быть близкой к структуре, полученной Ньюэллом [1] на основе
уравнения (3.19).
Одно из явлений, которые нельзя описать в непрерывной модели, это
столкновение машин. В цепочке, описываемой уравнением (3.19), это
происходит тогда, когда s" - .sy, уменьшается до длины машины L. В
частном случае уравнения
sn (t + Д) = a{sn_! (t) - sn (t) - L},
которое решается при помощи преобразования Лапласа, можно проверить, что
критерий отсутствия столкновений имеет вид
аД < 1/е;
это несколько сильнее критерия устойчивости 2аД < 1, полученного выше.
Подробный анализ этих условий завел бы нас слишком далеко, и мы отсылаем
читателя к обсуждению вопросов локальной устойчивости в статье Хермана,
Монтролла, Поттса и Розери [1].
3.2. Паводковые волны
Для паводковых волн в реках "плотностью" в смысле общей теории,
изложенной в гл. 2, служит площадь поперечного сечения реки А (х, t),
измеренная в точке х в момент времени t. Если расход через это сечение
равен q (х, t) в единицу времени, то закон сохранения имеет вид
XI
- j А (х, t)dx + q(xu t) - q (х2, t) = О,
Х2
3.2. Паводковые волны
85
или, в дифференциальной форме,
ж-+4Н°- <3-29>
Течение в реке, очевидно, настолько сложно, что любая модель для
второго соотношения между q и А оказывается чрезвычайно приближенной и
дает лишь качественные эффекты и порядок величин для скоростей
распространения, волновых профилей и т. д. Однако наблюдения во время
медленных изменений уровня реки все же можно использовать для
установления зависимости между глубиной, площадью А и расходом q. Такие
наблюдения дают эмпирические кривые для функции
q = Q (А, х) (3.30)
в стационарном потоке. Это соотношение можно объединить с уравнением
(3.29) и получить первое приближение для очень медленно меняющегося
нестационарного потока, а именно
дА_.dQ_?^_= ГЗ ЯП
dt "Г дА дх дх ' '
Мы снова получили уравнение, обсуждавшееся в гл. 2,
причем
скорость распространения возмущении составляет
с=ж=тж- <3-32>
(Второе выражение содержит ширину Ъ и глубину h, причем dA = Ъ dh.) Это
формула Клайца - Седдона для паводковых волн, впервые, по-видимому,
установленная Клайцем (1858 г., не опубликовано), а подробно изученная и
успешно использованная Седдо но м [ 1 ].
Эмпирическое соотношение (3.30) можно сопоставить с простой теоретической
моделью. Это соотношение отражает равновесие между силой трения о дно
реки и силой тяжести. В теоретических моделях сила трения обычно
предполагается пропорциональной к2, где v - средняя скорость,
v - q/A,
а также пропорциональной "смоченному" периметру Р поперечного сечения в
точке х. Таким образом, эту силу, отнесенную к единице длины реки, можно
записать в виде р0CfPv2, где р0 - плотность воды и Cf - коэффициент
трения. Сила тяжести, отнесенная к единице длины, равна р0gA sin а, где а
- угол наклона поверхности воды. Отсюда
A g sin а
' (3.33)
Гл. 3. Конкретные задачи
86
"Смоченный" периметр Р является функцией от А; С/ также может зависеть от
А. Для широких рек Р мало меняется при изменении глубины реки и может
считаться постоянным. Если Cf и а также принимаются постоянными, то из
равенств (3.33) следует закон ГОези
v od Al/\ Q ио As/2.
Тогда скорость распространения возмущения определяется как
d i ач , л dr 3
с = -гг- (vA) = v4- A -y-r = -rv.
dA dA 2
В более общем случае Р и С/ представляют собой функции от А и степенной
закон зависимости для них дает г оо Ап, Q оо А14,1 с другим показателем
степени п. Например, для треугольного поперечного сечения Р со, А1!2 и п
-- */4; закон Манинга Cf оо оо А-1/3 приводит к п = 2/3. Для всех этих
степенных законов скорость распространения возмущения равна
с - (1 + п) v.
