Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1/2)Я будет доминировать член с п = т н (4.49) можно приближенно
переписать так:
с ~ ; (т - 1/2)Х<:х<:(т + 1/2)Х.
Это волна пилообразной формы с периодическими разрывами, расположенными
на расстоянии X один от другого, и на каждом разрыве с скачком меняется
от -X/(2t) до XI (2t). Данный результат согласуется с формулой (2.56).
Для изучения последней стадии затухания, когда Я2/(4vt) 1,
можно использовать другую форму решения. Выражение (4.48)
является периодическим по х, и в интервале - X/2 < х < Х/2
Ф ->• б (х) при t 0.
Это начальное условие можно разложить в ряд Фурье
ФИ_1{1 + 22со8^=};
тогда соответствующее решение уравнения теплопроводности для ф будет
ф=4'{1+23 ехр (cos-^F^} - (4-5°)
4.7. Слияние ударных волн
113
Можно проверить непосредственно, что это ряд Фурье для функции (4.48).
Далее,
2vq>x
ф
2 гаехр(--^т- v*)sin
2ппх
. . " vi / 4п2п2 \ 2лп.т
i+2 2 ехр(-w~ V*)C0S"T_
(4.51)
Если vtIK2 1, то член ряда с п = 1 доминирует над остальны-
ми, и мы имеем
8т> / 4я2т? \ . 2пх
с ^ -г-ехр
/ 4it2vf \ . 2яг ,, со.
(------Р-)81"-* (4'52)
Это решение уравнения ct = vcxx, и снова на последней стадии затухания
преобладает диффузия.
4.7. Слияние ударных волн
ф =
Когда одна ударная волна настигает другую, они сливаются в единую ударную
волну возросшей интенсивности, как показано на /'-диаграмме рис. 2.16 для
невязкого решения (v 0). Оказывается возможным найти простое решение
уравнения Бюргерса, описывающее этот процесс для произвольного v.
Решение для одиночной ударной волны дается формулами (4.23) и
соответствующее выражение для ф имеет вид
fi+h, /j = exp (--^Г + ~?Г - (4.53)
В формулах (4.23) параметры bY и Ь2, определяющие исходное положение
ударной волны, положены равными нулю. Выражения fi и /г> очевидно,
являются решениями уравнения теплопроводности (4.7). Выражение для с
имеет вид
"__ 2v<px _ С1/1+С2/2 // с/\
v~~~~h+fT~- (454)
Пусть с2 > сх; тогда при х -+ оо преобладает и с -*¦ си а при ж ->• - оо
преобладает /2 и с -*¦ с2. Центр ударной волны расположен там, где fx =
/2, т. е. в точке х - 1/2 (сг + cs)t.
Теперь, поскольку каждая функция fj является решением уравнения
теплопроводности, очевидно, можно добавлять в (4.53) и другие члены и
получать более общие решения уравнения Бюргерса. Такие решения описывают
взаимодействующие ударные
Гл. 4. Уравнение Бюргерса
114
волны. Рассмотрим здесь случай, когда Ф = /1+/г + /з. V Ь2 = О, Ь
С1/1 + с2/г + сз/з .
^3 ^ ^
(4.55)
/1+/2+/3
Если v достаточно мало, то можно выделить переходные области между
состояниями с1т с2, с3, замечая, в какой из областей доминирует
соответствующая функция /. При t - 0 функция /х доминирует в интервале 0
<< х, функция /2 - в интервале - 1 < х << < 0, а функция /а - в интервале
х < - 1. Таким образом, об-
¦Г
Рис. 4.3. Слипающиеся ударные волны.
ласть перехода от сх к с2 расположена возле х = 0, а от с2 к с3 - возле
х= -1. При t >0 области, в которых с~ сх, с ~ с2, с ~ с3, можно найти
таким же образом; результат изображен на рис. 4.3. В начальпый период
переход от сх к с2 происходит там, где /х = /2, т. е. в точке
x=LSl±h-t, f (4.56)
а переход от с2 к с3 - там, где /2 = /3, т. е. в точке
x = S*+?2.t - ia (4.57)
Поскольку х/2 (с2 + с3) > х/2 (сх + с2), вторая ударпая волна
настигает первую в точке (х*, <*), определяемой равенствами
(4.56) и (4.57). В этой точке /х = /2 = /3.
При t > t* области, в которой преобладала бы функция /2, уже не
существует и непрерывное решение описывает единую ударную волну с
областью перехода от сх к с3, движущуюся со скоростью х/2 (сх + с3) вдоль
прямой
*-*•==.?*±?2. (*_*•),. (4.58)
определяемой условием /х = /3.
Глава 5
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Следующий шаг в развитии теории гиперболических волн связан с обобщением
развитых выше идей и методов на системы высшего порядка. Ряд
предварительных замечаний уже был сделан при рассмотрении разнообразных
модификаций основного волнового движения, но вопросы, непосредственно
связанные с возможностью существования в системе нескольких различных
волновых мод, были затронуты лишь мимоходом. Теперь мы перейдем к общему
обсуждению этих вопросов.
Многие физические задачи приводят к системам квазилинейных уравнений
первого порядка. Такие уравнения линейны по производным первого порядка
от зависимых переменных, но их коэффициенты могут быть функциями от
зависимых переменных. Если такие уравнения описывают волновое движение,
то во многих вопросах можно разобраться, изучая плоские волны. Учитывая
это, мы начнем со случая двух независимых переменных. Этими двумя
переменными часто являются время и одна пространственная координата, так
что будем обозначать их через t и х и использовать соответствующую
терминологию, хотя наши рассуждения применимы к любым системам с двумя
независимыми переменными. Если зависимые переменные обозначить через иг-
{х,_ /), i = 1, . . . ...,", то общая квазилинейная система первого
порядка будет иметь вид
duj duj
