Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
uxt = 0
5.2. Примеры классификации систем
121
эквивалентно системе
ut - v = О,
vx = 0.
В этом случае обе матрицы Аша вырожденны, но условие (5.7) выполнено и
никаких неприятностей не возникает. Уравнение (5.6) имеет вид
X' 0
= 0, т. е. Х'Г = 0.
0
-Г
Обе оси t и х являются характеристиками, и исходные уравнения уже имеют
характеристическую форму.
Пример 4. Рассмотрим теперь уравнение
utt-уихх + и = 0.
Если положить их = v, ut = w, как в примере 1, то наличие дополнительного
недифференциального члена и помешает полному исключению переменной и; зто
наводит на мысль перейти к трем уравнениям. Если в качестве эквивалентной
системы выбрать
их - v - 0,
щ - w - 0,
щ - yvx + и = 0,
то возникнут неприятности, поскольку обе матрицы Аша вырожденны вместе со
всеми их линейными комбинациями. Уравнение
(5.6) имеет вид
-Г
X'
о
о
о
уГ
о
о
X'
= 0
и, очевидно, выполняется для всех пар (X', Т'). Однако зта система
исключается условием (5.7).
По крайней мере при у > 0 можно выдвинуть указанное выше предположение,
что система, вероятно, содержит лишние неизвестные и может быть упрощена.
Возможность такого упрощения можно установить, переписав уравнение в виде
-+Vvi)u+u=v-
Тогда, положив
ф = Щ + Ууих,
Гл. 5. Гиперболические системы
122
получим систему второго порядка
4>t-Vy4>x + u=0,
Щ+Ууих - ц> = 0.
Коэффициенты этой системы не имеют особенностей. В действительности она
уже записана в характеристической форме, и существуют в точности две
характеристики.
Пример 5. Другая система, которую можно предложить для уравнения
ин - Wxx + и = О,
такова:
ut - w = О,
Щ - wx = О,
N't - Yvx + и = 0.
Она отличается от системы из примера 4 тем, что уравнение vt - - wx =0,
полученное исключением и, подставлено в их - г = 0. Теперь Л - единичная
матрица и нет оснований ожидать неприятностей. Условие (5.6) имеет вид
Л" 0 0
0 X' Т'
0 уГ X'
= 0, т. е. Х'(Х'2 - уГ2) = 0.
Два корня X' = ± j/уГ, очевидно, являются характеристиками исходного
уравнения, но откуда взялась лишняя характеристика X' = 0? Предложенная
система сама по себе не имеет недостатков, но она уже не эквивалентна
исходному уравнению. На самом даче она эквивалентна уравнению
4r(utf
\mxx + u) = i}.
Появление дополнительной характеристики отвечает дополнительному
дифференцированию по t.
Пример 6. Система
ut -Г С (и, v) их = 0, vt + С (и, v) vx = и
представляет собой очевидный пример системы с одной характеристикой, на
которой dx/dt = С, но с двумя независимыми характеристическими формами.
Следовательно, она является гиперболической.
5.2. Примеры классификации систем
123
Пример 7. В теории диспергирующих волн встречается система
щ + С(и) их = О,
vt + С (и) vx -f С'(и) vux = 0.
Единственной возможной характеристической формой является первое
уравнение в исходном виде. Следовательно, система не является
гиперболической. Однако в данном исключительном случае первое уравнение
можно решить независимо от второго, проинтегрировав его вдоль
характеристик dx/dt = С. Затем, зная и во всей области, можно вычислить
их и, проинтегрировав второе уравнение вдоль тех же самых характеристик,
найти и. В этом отношении данная система подобна гиперболической системе
с двойной характеристикой, однако формально ее следует классифицировать
как параболическую.
В примерах 2-7 классификация требовала разъяснений *). Теперь мы добавим
несколько примеров, в которых нет трудностей в классификации. Это хорошо
известные и характерные нелинейные системы. Мы приведем лишь относящиеся
к делу сведения с минимумом объяснений.
Пример 8. Газовая динамика. Для сжимаемого невязкого течения
газа со скоростью и, давлением р, плотностью р и энтропией S
уравнения имеют вид (см. гл. 6)
Pt т иРх Т Рих - 0, и t -[ иих -J- - рх = 0,
St -i-uSx = 0,
где р = р (р, S). Уравнения в характеристической форме записываются так:
dp , du dx
-гг ± Pfl па -гг = u±a,
dt dt dt
dS t, dx
-Л=° Ha ~dt=U'
где a2 = (<9p/<9p)s=Const- Для газа с постоянными теплоемкостями р =
xpves/c" и а2 - ур/р.
Пример 9. Речные волны и теория мелкой воды.
Соответствующие уравнения были получены выше (см. (3.37));
их характери-
1) Общепринято также следующее определение гиперболической системы:
система вида (5.9) является гиперболической, если соответствующая задача
Коши оказывается корректно поставленной.- Прим. ред.
Гл. 5. Гиперболические системы
124
стическая форма следующая:
V7h) = g'S-Ct^ на ^ = v±VYh.
Пример 9'. Для упрощенной кинематической аппроксимации уравнений (3.38)
характеристическая форма сводится к одному уравнению
5-" - *-4(?Г,",п-
Пример 10. Магнитная газовая динамика. Для проводящего газа в магнитном
поле уравнения (в стандартных обозначениях) иногда записывают в виде
pj + ирх + р их = О, р (ut + uux) + px = jB,
(Pt +иРх)~ fzrj-J (Рt + WP*) = 4 '
Bt + EX = Q,
*"Et + "гг Вх + / = 0,
Г
где / = о (Е-иВ). Характеристические скорости равны ± (еср)_1/2, и ± а,
и.
Пример 10'. Если проводимость о очень велика, то предыдущая система
