Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представляется разумной следующая зависимость между этим усилием и
скоростью деформации:
= Л (3.55)
где п приближенно равно 3 или 4. (В случае ньютоновой вязкой среды п =
1.) Далее, лед скользит по основанию согласно при-
3.3. Ледники
95
блаженному закону
хи (0) = тт(0), (3.56)
где т г12 (п 1) " 2. Для слоя, лежащего между у и у + ?>У, разность между
сдвигающими усилиями должна уравновешиваться силой тяжести. Если а - угол
наклона и р - плотность льда, то
бт = - рбyg sin а.
Таким образом,
^Г=- pgsina. (3.57)
Поскольку т обращается в нуль на поверхности ледника у = h7 решение для т
имеет вид
т = (h - у) рg sin a.
Интегрируя теперь уравнение (3.55) с граничным условием (3.56), получаем
и(й_ +1 ("у (Ji""_{h_y)"h (3_м>
Расход, отнесенный к единице ширины, равен
<?*(/,) = J udy = -^Sinav)mhm+1 + . (3.59)
о
Для оценки порядка величин можно положить <?* (h) оо hN,
где N лежит в интервале между 3 и 5. Скорость распространения возмущений
где v - средняя скорость Q*!h. Таким образом, волны распространяются со
скоростью, в три-пять раз большей, чем средняя скорость течения.
Характерные скорости имеют порядок от 10 до 100 метров в год.
Используя результаты и идеи, приведенные в гл. 2, можно решать различные
задачи. Интересным вопросом, рассмотренным Наем, является влияние
периодического накопления и испарения льда; в зависимости от периода это
может быть связано с сезонными или климатическими изменениями. Для этого
в уравнение неразрывности добавляется известный член / (х, t), т. е.
полагают
h + = / (х, t), д* = Q* (h, х). (3.60)
Гл. 3. Конкретные задачи
96
Последствия определяются интегрированием характеристических уравнений
-f
Основной результат заключается в том, что некоторые части ледника могут
быть очень чувствительными к внешнему воздействию и добавочный член может
сработать как спусковой механизм для сравнительно быстрых локальных
изменений.
3.4. Химические процессы обмена; хроматография; отложение осадков в
реках
Уравнения, описывающие процесс обмена между твердой фазой и протекающей
через нее жидкостью, были выведены в § 2.2. Обмен либо может быть связан
с частицами или ионами какого-нибудь вещества, либо речь может идти о
тепловом обмене между твердой фазой и жидкостью. Другим примером является
отложение осадков в реках (см. Кинч [1]).
Уравнения, связывающие плотность р/ в жидкости и плотность ps
адсорбированного вещества, имеют вид
-|-(Р/ + Pe)i + -^(Fp/> = °. (3-61)
= Ъ (А - Ps) pf-k2ps (B-pf). (3.62)
При сравнительно медленных изменениях плотностей и сравнительно высоких
скоростях реакции кг, к2 во втором уравнении можно пренебречь членом
dpjdt и взять его в квазиравновесной форме, что даст
Ps = В (рД = + (А-i-а-.2) Vf ' (3*63)
Подставив это выражение в (3.61), получим
дРf , V <>Pf _п ,о п.,
dt +1 + Л'(рД дх (3.64)
Таким образом, изменения плотности распространяются вверх по потоку со
скоростью
"-¦птег (3-65)
3.4. Химические процессы обмена
97
где
(3.66)
Если рассматриваемые плотности малы, то приближенно
Скорость распространения возмущений зависит от скоростей реакции
рассматриваемого процесса; она меньше для вещества с большей
адсорбционной способностью. Если на колонку поступает смесь веществ,
различные компоненты которой обладают различными адсорбционными
способностями, то эти компоненты будут двигаться вниз по колонке с
различными скоростями. Таким образом, на колонке компоненты смеси
образуют отдельные полосы; если они к тому же окрашены, то образуется
спектр. В этом и заключается процесс хроматографического разделения.
Нелинейные эффекты приводят к более высоким концентрациям в начале или в
конце полосы в зависимости от знака с' (р>). Конечно, нелинейные
уравнения для одного компонента справедливы только после разделения.
Структуру ударной волны и другие вопросы можно изучать при помощи полных
уравнений (3.61) и (3.62). Достопримечательно, что в этом случае, как
показал Томас [1], полные уравнения можно преобразовать (точно) в
линейное уравнение. Сначала вводится движущаяся система координат
и уравнения принимают вид
(3.68)
= ар, - pPs - TPsP/*
Первое уравнение превращается в тождество выбором
Р/ = Фт1 Ps = Фея а из второго уравнения получается уравнение для ф: Ч'от
+ афт + РФ о + ТФоФт = 0. Произведем теперь нелинейное преобразование
(3.69)
(3.70)
и получим
¦уф = In X lot + аХт + РХо = 0,
(3.71)
(3.72)
Гл. 3. Конкретные задачи
98
так что нелинейное преобразование исключило нелинейный член. В исходных
переменных мы получаем
Р/ = ±Ж, Pe=_"±Zx*, (3.73)
V X УХ
Х" + V%xt + (а + Р) %t + Wy,x = 0. (3.74)
Общее решение этого линейного уравнения можно получить при помощи
преобразования Фурье, так что в данном случае решения приближенного
уравнения (3.64), включающие, если необходимо, разрывы, можно подробно
сравнить с точным решением. Этот вопрос широко изучался Гольдштейном и
Мерреем (Гольдштейн [1], Гольдштейн и Меррей [1]). Точное решение
подтверждает идеи и методы введения разрывов в решения уравнения (3.64).
