Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
производной между g ~ 0 при z<0ng~z при 0 <; z <; 1. Из (4.33) следует,
что этой переходной области соответствуют значения
z = О (7?-1/2),
и в этом случае (4.33) можно приближенно представить в виде
-Rz2
es-------------• (4.38)
гув. \_e-Vdl
zVR
В исходных переменных имеем
/- -хЩШ)
у-S------------------------ (4.39)
х/~\/ k\t
Вид зтого решения для больших значений R изображен на рие. 4.1, где
построен график g (z) = сУ t/(2A) в зависимости от z.
'4.5. iV-волна
109
При R ->• оо переходная область ударной волны переходит в линию разрыва
для с, а переходная область около ? = 0 переходит в линию разрыва для сх.
В безразмерных переменных g a z этот профиль не зависит от t.
Следовательно, если начальные условия
Рис. 4.1. Решение уравнения Бюргерса в виде треугольной волны.
обеспечивают достаточно большое значение R, то ударная волна остается
достаточно слабой и разрывная теория (4.4) дает хорошее приближение для
всех 1. Это верно, несмотря на то, что интенсивность ударной волны
пропорциональна У2Alt и стремится к нулю при t ->¦ оо.
В данной связи следует подчеркнуть, что площадь области между профилем и
осью абсцисс остается постоянной даже при учете диффузии, поскольку
¦Ж J c^ = [vc--TcTcc==0-
Поэтому "эффективное" число Рейнольдса, определяемое как
к Ij**'
остается постоянным для всех t. Следующий пример показывает, что более
типична ситуация, когда в затухающей волне диффузия в конце концов
преобладает, и что одиночный горб является в этом ¦отношении исключением.
4.5. А'-волна
Последние примеры, которые мы рассмотрим, легче получить, подобрав
сначала подходящие решения <р уравнения теплопроводности (4.7) и затем
подставив их в равенство (4.6), определяющее с. При этом в качестве
наводящего соображения можно использовать
Гл. 4. Уравнение Бюргерса
110
идею, что с ведет себя как фх. Так, в случае одиночного горб" следовало
бы взять ф равным решению уравнения (4.7) с начальными условиями в виде
ступеньки. Для того чтобы получить iV-воя-ну для с, выберем в качестве ф
решение уравнения теплопроводности в виде функции источника:
Ф = 1 + Уф e-*2/<4-vt>. (4.40)
В силу (4.6), соответствующее решение с равно
2лкрх _ ж Уфе-х2/<-Ш)
С~ <Р t l+yy-te-x2"ivt> '
Поскольку ф при t -*¦ 0 ведет себя как S-функция, выражение (4.41)
несколько затруднительно интерпретировать как решение задачи
(4.41)
Коши для с. Однако для любого t > 0 оно представляется графиком,
изображенным на рис. 4.2, с положительной и отрицательной фазами, и в
качестве начального профиля можно взять профиль при любом значении t = t0
> 0. Этот профиль типичен для решений вида "У-волны.
Площадь положительной фазы профиля равна
j cdx= -2v [In ф]" - 2v In (l + Yaft). (4.42)
о
Отрицательная фаза имеет такую же площадь. Таким образом, в
противоположность предыдущему случаю площадь положительной фазы стремится
к нулю при t -"- оо. Если величину интеграла (4,42) в начальный момент
времени tQ обозначить через А, то можно ввести число Рейнольдса
7?0 - -т^- - In (l + }/" a/t0).
(4.43)
4.5. TV-волна
111
Но с ростом времени эффективным числом Рейнольдса будет
R (t) = ~ j с dx = In (l -f Y a/t )> (4.44)
о
и это число стремится к нулю при t->- оо. Если R0 > 1, то можно ожидать,
что "невязкая теория" (4.4) - (4.5) в течение некоторого времени будет
хорошим приближением, но, поскольку R (?)-"- О при tоо, в результате
будет преобладать диффузионный член. В этом отношении данный пример
отличается от предыдущего, в котором эффективное число Рейнольдса
оставалось постоянным и равным исходному числу Рейнольдса. Проверим
теперь детали.
Введя величины R0 и t0, получаем a=t0 (eRo - I)2, поэтому (4.41) можно
переписать в виде
х f л , -,/Т e*2/(4vf)
с=т V+VxT^rr)¦ ,4-45)
При R0 1 (соответственно при t0 а) это выражение можно
аппроксимировать следующим:
с ^ {1 +
J_e(a:2/(2At)-l)Ro| 1 (4.46)
для всех х и t. Таким образом при фиксированном t и R0 ->• оо
с /"Г' ~ V^t<x<jV2At,
\ 0, \x\>V2At.
Этот результат в точности совпадает с невязким решением. Однако для любых
фиксированных а и v непосредственно из (4.41) видно (и можно также
проверить с помощью (4.46)), что
yr:c!''(4vl) при t-*- оо. (4-47)
Это дипольное решение уравнения теплопроводности. В последней стадии
затухания диффузия доминирует над линейностью. Следует, однако, помнить,
что эта стадия затухания наступает при чрезвычайно больших значениях
времени, так что невязкая теория оказывается приемлемой почти во всей
интересующей нас области.
Гл. 4. Уравнение Бюргерса
112
•4.6. Периодическая волна
Периодическое решение можно получить, взяв в качестве <р совокупность
тепловых источников, расположенных на расстоянии X один от другого. Тогда
ф=(4hv#)_1/2 2 схр {- (r7,f')2} • (4-48)
П= - оо
2 {(х - nk)/t} ехр{ - (х - п)i)2/(4vi)} c=_2v-^ = -----------------------
---------- . (4.49)
2 ехР { - (х - пл)2/(4vf)}
Если X2/(4vt) Э1 1, то экспонента с наименьшим значением (ж-nX)2/(4vt)
доминирует над всеми остальными. Следовательно, при (т - Ч2)Х < х < (т +
