Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
U = 1/2 (сх + с2), С = Vb CjC2,
4.4. Одиночный горб
105
и уравнение можно переписать как
(с - с^с* - с) = - 2vcx.
Решение этого уравнения имеет вид
X 2 J С2 С
V C^ - Ci C~Cf '
что согласуется с (2.25), поскольку с = 2ар + Р для квадратичной функции
Q (р). Разрешая полученное равенство относительно с, получаем
с = ^ +?7=*±?l. (4.23)
1 + ехр | 2v (ж -Ш)|
Положив в равенствах (4.10) - (4.11)
я>0,
?<0,
можно исследовать диффузию первоначальной ступеньки в стационарный
профиль. Решению можно придать вид
с = с'+---------------------nS-------------------Г- (4.24)
1 + /-ехр{^П_(.г-Ш)|
где
h= -(.-с-сП)/1/4у"_____________ |^25)
$ е~& dt,
(X - C2tV\/ivt
Для фиксированного xlt из интервала С! < xlt <; с2 величина h ->• 1 при t
->• оо и решение сходится к (4.23).
4.4:. ОДИНОЧНЫЙ ГОрб
Частное решение в виде одиночного горба можно получить при начальном
условии
F (х) - с0 + .46 (я). (4.26)
Параметр А согласуется с формулой (4.21), и число Рейнольдса составляет R
= A/(2v). Постоянную с0, не теряя общности, можно опустить, поскольку
подстановка
с = с0 + с, x = c0t-{-x (4.27)
Гл. 4. Уравнение Бюргерса
106
приводит уравнение Бюргерса к виду
ct+~c~ = vc~~. (4.28)
Это исключение с0 эквивалентно переходу в систему координат, движущуюся
со скоростью с0. Таким образом, будем рассматривать только случай
F (х) = Ад (х). (4.29)
Нижний предел в интеграле, входящем в формулу (4.11), можно считать
произвольным, поскольку правая часть (4.10) от него не зависит.
Следовательно, можно положить его равным +0, включив S-функцию при г] <0
и исключив ее при г) > 0. Тогда
(х- Т})2 А
-------------- Т)>0,
6 - < (х- п)2
21
Интегралы в числителе дроби (4.10) вычисляются, а интегралы в знаменателе
выражаются через дополнительный интеграл ошибок. Результат таков:
, .4 ••/ v (eR - l)e-x2l^vt) д
c(x,t) = J/T--i--------------1--------------- , Д=2^. (4.30)
\rn + (eR - 1) j
sc/У 4 vt
To, что решение должно иметь вид
А
У vt
можно было предсказать, исходя из соображений размерности. В задачу
входят только два размерных параметра А и v, оба имеющие размерность LPT-
1; нет отдельных параметров с размерностью длины и времени, которые могли
бы служить масштабами для х и t по отдельности.
Когда R -+¦ 0, следует ожидать, что диффузия доминирует над
нелинейностью. При R 1 знаменатель в (4.30) равен Уп-\-0 (R) равномерно
по х, t, v; поэтому с можно приближенно представить в виде
с (х, t) = if - Re-^АШ^-А- e-*2/(4vi)> (4.31)
' ЯГ |/ 4n\t
Это функция источника для уравнения теплопроводности ct = vcxx, так что
наши ожидания оправдались.
Для обсуждения поведения решения при больших R удобно рвести безразмерную
переменную z = xlY%At и переписать (4.30)
4.4. Одиночный горб
107
в виде
С==УГR)•
/еК_Я e~z2R
g (z, 7?) = , (4.32)
) lj
Z~\/R
21/R Yn + (eR -1) J e E2d?
2At
Рассмотрим теперь поведение функции g при 7? -> оо для различных
интервалов z. Во всех случаях eR -1 можно приближенно заменить на eR,
полагая
1 еЖ1-г2)
1/я+ек \ е dt, zl/R
Если z •< 0, то интеграл стремится к
(4.33)
j e~S2 <2?= }/jt;
следовательно, g0 по крайней мере как 1 /У R. Если z>0, то интеграл
становится малым и можно использовать асимптотическое равенство
р e-v2
j е-& d? жпри ц-^-оо. ч
Следовательно,
g~1+2,vW'-г>0' (4'34)
При 0 < z < 1 имеем
g ~ z, 0 < z -< 1, 7? -оо. (4.35)
Если же z > 1, то g -"- 0 при 7? -оо. Таким образом, g ->• 0
всюду, за исключением интервала 0 < z < 1, в котором g ~ z.
В ис-
ходных переменных зтот результат записывается так:
-j- при 0 < х < }/"2Л<,
в противном случае.
-Это и есть соответствующее решение уравнения (4.4) с разрывом в точке х
= У2At. Скорость ударной волны равна 77 = УA/(2t),
{I
Гл. 4. Уравнение Бюргерса
108
а с меняется скачком от нуля до У2Ait, так что условие на разрыве (4.5)
выполнено.
То же самое выражение (с с0 = 0, согласно принятому выше соглашению) было
получено в (2.52) для асимптотического поведения решения уравнения (4.4)
в случае одиночного горба произвольной формы. Там была асимптотика в
другом смысле, исследовалось поведение решения при t ->- оо в рамках
описания, даваемого уравнением (4.4). Для начальных условий в виде S-
функции подобная асимптотика получается немедленно.
Разрыв находится в точке z = 1, и для больших, но конечных R выражение
(4.34) дает быстрый переход от экспоненциально малых значений при z>lKg~z
при z <; 1. В этой переходной области ударной волны z ж 1 (4.34) можно
приближенно переписать так:
ё~ 1 + 21/ЙДв2^-1) ' (4'36)
В исходных переменных получаем
с" л/Ц------------------- J-------------------------. (4.37)
1+ехр {2vV -(х-Уш)+ты-г}
Это согласуется с профилем ударной волны (4.23) при с2 - сг = = У2Alt,
причем с точностью до малых первого порядка разрыв расположен в точке х =
У 2At. В силу (4.36), ширина этой переходной области имеет порядок О
(R~l).
Существует другая переходная область (с менее резким переходом), которая
расположена вблизи точки z = 0 и в которой сглаживается разрыв
