Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
интервале
3/г Щ <5 U < vt + g (3.52)
Учитывая равенства (3.47) и (3.49), легко показать, что это эквивалентно
выполнению неравенств
1 + {1+4(S'C,)1/2}1/2
*<(?)
<
Однако неравенства (3.52) больше отвечают существу дела в силу физической
интерпретации скоростей. Ударная волна распростра-
Рнс. 3.9. Структура моноклинальной паводковой волны с внутренним
разрывом.
няется быстрее, чем волны низшего порядка, но медленнее, чем волны
высшего порядка перед ней.
Если
vi+V s'h i < и < v2+VYK,
3.2. Паводковые волны
93
то знаменатель в (3.51) меняет на профиле знак и интегральная кривая
поворачивает назад (рис. 3.9). Однозначный профиль получается введением
соответствующего разрыва, как показано на этом рисунке. В отличие от
случая потока транспорта основные законы сохранения в интегральной форме
(3.34) и (3.35) известны
и справедливы как для непрерывных, так и для разрывных реше-
ний. Применяя к ним процедуру, описанную в § 2.3, получаем следующие
условия на расположенном в точке х = s (t) разрыве *):
-s [h] + [hv] = 0, (3.53)
- 'stow] + [/a-2 + = 0. (3.54)
Следует специально отметить, что правая часть равенства (3.35) не дает
вклада в пределе х^ -"- х2. Эти условия на разрыве следует рассматривать
совместно с уравнениями (3.36) так же, как условие
(3.39) рассматривается совместно с уравнением (3.38). Следует быть
осторожным при объединении уравнений и условий на разрыве на каждом
уровне описания. При изменении уровня описания меняется число как
уравнений, так и условий на разрыве. Разрывы, описываемые условиями
(3.53) и (3.54), реально проявляются как турбулентные боры, известные в
теории волн на воде как "гидравлические прыжки" или буруны на отмели.
В данном случае необходимо построить разрыв, удовлетворяющий условиям
(3.53) и (3.54), для решения уравнения (3.36) со стационарным профилем;
ясно, что скорость разрыва так же равна U. В силу (3.46), для любого
разрыва между ветвями профиля (включая прямые h - hx и h = h2 как
возможные решения уравнения (3.51)) выражение h (U - v) автоматически
будет непрерывным и условие (3.53) будет выполненным. Второе требование
(3.54) определяет положение этого разрыва. Для выполнения условия (3.54)
требуется, чтобы выражение
hv (v - U) + 1/2 g'h2
было непрерывным. В силу (3.46), это эквивалентно непрерывности выражения
т , 1 п
Т + Тё К
Если разрыв выбирается таким, чтобы профиль изменялся от h - h^ до h = h
* на верхней ветви, как показано на рис. 3.9, то это требование принимает
вид
Я2 , 1 . 1 "/р Л* fl + WW?>1/2-l
h*-rTgn " hi + TgA*' или тг~-------------------2--------'
*) Для завершения решения данной физической задачи здесь нам требуются
математические результаты, которые будут установлены ниже {в гл. 5 и 10).
Однако представляется более удобным использовать их здесь с минимумом
пояснений, чем откладывать полное решение задачи.
Гл. 3. Конкретные задачи
94
Используя соотношения (3.48), последнее равенство можно переписать в
терминах ht и /г2. Можно проверить, что указанный выбор согласуется со
следующими требованиями: 1) g'h*3 - В2 > О, так что h = h* на верхней
ветви, и 2) h* < h2, если S <Z 4Cf.
Окончательный вывод, таким образом, состоит в том, что первоначальный
разрыв кинематической теории (равенства (3.38) и (3.39)) при более
подробном описании (3.36) переходит в гладкий профиль, если выполняются
неравенства (3.52). Для более сильных ударных волн, нарушающих условия
(3.52), остается разрыв, отвечающий разрыву в решении уравнений (3.36).
Дальнейшее выяснение важности неравенств (3.52) будет проведено (см. гл.
10) после подробного изложения теории характеристик и разрывов для систем
высших порядков.
Упоминавшиеся выше катящиеся волны получаются объединением гладких
участков, удовлетворяющих уравнению (3.50), с разрывными борами,
удовлетворяющими условиям (3.53) и (3.54). Можно показать, что выражение
g'h3 - В2 должно менять знак на профиле, но гладкие части сохраняются
монотонными требованием, чтобы числитель в (3.50) также обращался в нуль
при критическом значении глубины. Это требование связывает два параметра
В и С/, один из которых можно считать основным в семействе решений и
связать с величиной расхода. Дальнейшие детали можно найти в статье
Дресслера [1].
3.3. Ледники
Най [1, 2] отметил, что эти идеи о паводковых волнах равным образом
применимы к изучению волн в ледниках, и исследовал наиболее важные
свойства таких волн. Он ссылается на Финстерваль-дера [1] как на первого
исследователя волновых движений в ледниках и на независимо полученные
результаты Вертмана [1].
Учитывая трудности проведения наблюдений за течением ледников, связанные
как с их недоступностью, так и с малой скоростью движения, более
надежными считаются полутеоретические выводы. Для этого подробно
рассмотрим движение типа сдвига при двумерном стационарном течении по
склону постоянной крутизны. Пусть и (у) - скорость слоя, находящегося на
расстоянии у от основания, и пусть т (у) - сдвигающее усилие. Для льда
