Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ступенек и т. п. Это в целом верно, но в действительности ситуация
оказывается более сложной.
Гл. 3. Конкретные задачи
78
Для первого знакомства с нелинейным уравнением всегда полезно рассмотреть
сначала линеаризованную теорию, хотя линеаризация и может иметь свои
собственные недостатки, как было указано в § 2.10. Линеаризовав уравнения
(3.2) и (3.3) для малых возмущений состояния р = р0, v = v0 - V (р0)
подстановкой
Р = Ро + г, v = v0 + w и сохранением только первых степеней raw, получим
r{wt + v0wx)= - |IV - V' (p0)r+-^-rx} , rt + VoTx + po'/'x = 0.
Кинематическая волновая скорость равна Со = PoF' (Ро) + v (р0);
отсюда V' (ро) = - (vo - Со)/Ро- Подставляя это выражение и исключая w,
получаем
дг . дг д2г / д . д \2 _ ,
'5Г+с°ёГ = г;1^'"т(0Г+У°-to) г- (3-4)
Когда v = т = 0, имеем линеаризованное приближение к кинематическим
волнам г = / (х - c0t). Член, пропорциональный v, представляет диффузию,
характерную для уравнения теплопроводности. Эффект конечного времени
реакции т понять не так просто, но наводящие соображения можно получить
следующим образом. Основное волновое движение, описываемое левой частью
уравнения, имеет вид г = / (х -¦ c0t), так что производная по t
приближенно равна произведению величины -с0 и производной по х:
д д г-.
(3'5>
Если это приближение использовать в правой части (3.4), то уравнение
примет вид
^+Co^ = {v-(.o-Co)2x}-||. (3.6)
Имеет место комбинированная диффузия, если
v > (v0 - с0)2т, (3.7)
и неустойчивость, если
v < (*>о - с0)2т. (3.8)
Это естественно, поскольку в случае устойчивого движения водитель должен
смотреть достаточно далеко вперед, учитывая время реакции.
Критерий устойчивости можно вывести обычным способом и непосредственно из
полного уравнения (3.4). Уравнение (3.4) имеет
3.1. Поток транспорта
79
экспоненциальные решения вида
г с/э eikx~iat,
причем выполняется условие
т (ы - v0k)z + i (со - с0к) - vft2 = 0.
Эти экспоненциальные решения будут устойчивы, если Im со < О для обоих
корней со. Легко проверить, что это требование эквивалентно (3.7), так
что результат приближенных рассуждений подтверждается и обобщается на
волны произвольной длины.
Волны высшего порядка
Следует отметить, что правая часть уравнения (3.4) сама содержит волновой
оператор и это уравнение можно переписать в виде
дг , дг 1 д д \ / д д \ ,, п,
~дГ+С°^--------X\H+C+'"l) ( 5Г+С-5Г Г' (3-9>
где
с+ = г0 + YV'/B С--Щ-V V'/T- (3.10)
Следовательно, можно ожидать, что волны, распространяющиеся со скоростями
с+ и с_, также играют некоторую роль. На данной стадии пока еще рано
углубляться в этот вопрос, но стоит сделать замечание, весьма
существенное для интерпретации условия устойчивости. В дальнейшем при
исследовании уравнений высшего порядка мы увидим, что скорости
распространения, соответствующие производным высшего порядка, определяют
самый быстрый и самый медленный сигналы. В данном случае для сколь угодно
малого, но отличного от нуля времени реакции т самый быстрый сигнал
распространяется со скоростью с+, а самый медленный - со скоростью с_.
Таким образом, ясно, что приближение
(з-11)
может иметь смысл лишь при
с_<с0<с+. (3.12)
Но это в точности совпадает с критерием (3.7). Таким образом, поток
устойчив тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.12), и в этом
случае при малых т уравнение (3.9) можно приближенно заменить уравнением
(3.11). Имеется точное соответствие между устойчивостью и взаимодействием
волн.
Уравнение (3.9) встречается в различных приложениях и будет подробно
изучено в гл. 10.
Гл. 3. Конкретные задачи
80
Структура ударной волны
Более сложная форма поправок высшего порядка приводит к новым
возможностям в структуре ударной волны. Для простого диффузионного члена
с v >0 в § 2.4 было показано, что ударная волна имеет непрерывную
структуру. Теперь мы увидим, что этого может и не быть, если в уравнение
входят и другие члены высшего порядка. Будем искать решение системы
(3.2)-(3.3) со стационарным профилем вида
р = р (X), v = v (X), X = х - Ut,
где U - постоянная скорость перемещения. Уравнение (3.3) принимает вид
-иРх + (ф)* = 0. (3.13)
Проинтегрировав, получим
р (U - v) = А, (3.14)
где А - некоторая постоянная. Уравнение (3.2) пригашает вид тр (v - U)vx
+ vpx + pv - Q (p) = 0. (3.15)
Поскольку v = U - A/p, это уравнение сводится к
(v~Px=Q(p)-pU + A. (3.16)
При т = 0 последнее уравнение совпадает с уравнением (2.21), как это и
должно быть. При т =/= 0 возможность обращения в нуль выражения v -
А2т/р2 приводит к новым эффектам.
Р=Рг
X
Рис. 3.5. Структура непрерывной ударной волны.
Как и раньше, нас интересуют решения, заключенные между рг при X = +оо и
р2 при X = - оо. Эти значения будут нулями правой части уравнения (3.16).
Для потока транспорта с' (р) = - Q " (Р) < 6, так что р2 < рг и правая
часть положительна при Рг < Р < Pi- Если в этом интервале выражение v -
А2т/р2 остается положительным, то рх > 0 и получается гладкий профиль,
изображенный на рис. 3.5. В силу равенства (3.14), условие поло-
