Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
3.1. Поток транспорта
81
жительности v - А2т/р2 можно записать следующим образом: v>(v-U)2 т, т.е.
v-У v/т < U < v -f У v/t. (3.17)
По виду это условие напоминает линеаризованный критерий устойчивости
(3.7), где и0 заменено локальной скоростью v, а с0 заменено скоростью
ударной волны U. Как и (3.12), его можно рассматривать как предупреждение
об осложнениях, возможных в случае,
X
Рис. 3.6. Структура ударной волны с внутренним разрывом.
когда скорость ударной волны выйдет из интервала, ограниченного
скоростями сигналов высшего порядка. Однако это не обязательно приведет к
неустойчивости. Условия устойчивости равномерного потока на ± оо имеют
вид
V, -У V/T < С. < и, + У г/т,
1 _ ' _ (3.18)
Оо-У v/т < с2 < v2 + У v/t.
В общем случае возможно, что эти условия выполняются, а условие (3.17)
все же нарушается. При этом выражение v - Л2т/р2 меняет в переходной
области знак, как показано на рис. 3.6, и однозначный непрерывный профиль
не может существовать.
В большинстве задач о структуре ударной волны, когда профиль
"поворачивает назад", он спрямляется введением подходящего
разрыва. Строго говоря, эта ситуация опять соответствует
нарушению предположений, лежащих в основе описания процесса на данном
уровне. Однако введение разрыва, совместимого с основными уравнениями в
интегральной форме, позволяет избежать более строгого исследования
эффектов высших порядков. В случае уравнений (3.2) и (3.3) не ясно, какие
законы сохранения пригодны для вывода условия на разрыве или какие
дополнительные эффекты следует учесть. Можно ожидать существования
разрывного профиля, изображенного сплошной кривой на рис. 3.6; но в этом
случае не ясно, как получить точное описание разрыва. В других случаях,
которые будут обсуждаться ниже, детальное исследование можно довести до
конца. Здесь следует подчеркнуть, что разрывы, получающиеся в простой
теории, описываемой
Гл. 3. Конкретные задачи
82
уравнением
Pt + с (р)рж = О,
в более строгой теории не всегда удается заменить непрерывной переходной
областью.
Замечание о дискретных моделях
Большая работа была проделана по изучению дискретных моделей, в которых
движение n-й машины зависит от движения остальных машин (см., например,
Ньюэлл [1] и приведенные в этой статье ссылки на более ранние работы).
Пусть координата п-й машины в момент времени t равна sn (t). Обычно
предполагают, что закон движения имеет вид
sn (t + &) = G {xn_x (t) - sn (t)}, (3.19)
где sn - скорость, hn = sn^± - sn - интервал, а Д - время,
характеризующее реакцию водителя. Если функция G (/<") выбрана линейной
по hr, или уравнение линеаризовано для изучения малых флуктуаций вблизи
равномерного движения, то решение можно' получить при помощи
преобразования Лапласа. В общем случае, однако, приходится обращаться к
численному анализу.
В таких моделях внимание концентрируется на движении каждой отдельной
машины; в них используются масштабы, иные, чем в непрерывной модели, в
которой сложное поведение всей совокупности машин характеризуется
функцией Q (р) и параметрами гит. Но каждая дискретная модель приводит к
конкретному виду этих величин, что может оказаться полезным при обработке
результатов наблюдения. Кроме того, такие модели могут приводить к
дополнительным эффектам, которые нельзя заметить в непрерывной модели.
Чтобы установить соответствие между дискретной моделью, основывающейся на
уравнении (3.19), и непрерывной моделью, отметим связь между G (К) и Q
(р). В однородном потоке с одними и теми же интервалами h все скорости
одинаковы и в соответствии с (3.19) определяются соотношением v = G (ft).
Поскольку h = = 1/р, v = g/p, функция Q (р), входящая в непрерывные
уравнения, равна
Q (Р) = РG (1/р).
Если имеется эмпирическая или какая-либо другая информация о G (/г), то
ее можно перевести в информацию о Q (р) при р " р^. Конечно, при более
низких плотностях величина Q (р) будет другой из-за обгона с переходом на
другую полосу.
Распространение волны, которое описывается уравнением (3.19) и в котором
движение впереди идущей машины передается после-
3.1. Поток транспорта
83
довательно назад по потоку, должно быть конечно-разностным вариантом
результатов, описанных выше для континуума с указанным выбором функции Q
(р). В конечно-разностной форме (3.19) содержатся также эффекты высшего
порядка, эквивалентные эффектам, учтенным в уравнении (3.2), и можно
провести подробное сравнение. Если положить
Vn (#) = Sn (t), s"_! (t) - sn (t) = hn (t), (3.20)
то уравнение (3.19) будет эквивалентным двум уравнениям
vn(t + A) = G{hn), (3.21)
rfh
= i'n-1 (0 - Vn (if). (3.22)
Теперь введем непрерывные функции v (х, t) и h (х, t), такие, что v(s",
t) = vn (if), (3.23)
h (-- f)=fem(0, (3.24)
и, считая величины Д и hn малыми, перейдем к соответствующим уравнениям в
частных производных. Уравнение (3.21) можно переписать в виде
v {s" (t + Д), t + Д} = G {h (sn -4- V2 hn, f)}
и приближенно заменить уравнением
v + (i'i + vvx)Д = G (h) + V2 hG'Qi) hx, (3.25)
