Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, сила, действующая на единичную поверхность, будет функцией
от точки приложения х, времени t и единичного вектора 1, нор-
6.1. Уравнения движения
145
мального к данному элементу поверхности. Стандартные рассуждения, которые
мы уточним ниже, показывают, что I-ю компоненту Pi напряжения можно
записать в виде
Pt - Pjtlj (суммирование по j), (6.1)
где величины рц (х, t) зависят только от точки х и времени t. Поскольку
pi и lt - векторы, компоненты pJt образуют тензор, называемый тензором
напряжений в точке (х, t). Величина рц представляет собой г-ю компоненту
силы, действующей на единичный элемент поверхности, нормальный к j-му
направлению.
В законе сохранения энергии вводятся дальнейшие переменные. Жидкость
обладает внутренней энергией, связанной с тепловым движением молекул. В
теории сплошной среды эта энергия, отнесенная к единице массы,
обозначается через е (х, t). Существует также тепловой поток через
границу, и его величина, отнесенная к единице площади поверхности,
обозначается вектором q (х, t).
Теперь мы в состоянии выписать законы сохранения, хотя они не образуют
полную систему, поскольку в них неизвестных больше, чем уравнений.
Рассмотрим произвольный фиксированный объем V области, занятой жидкостью,
и выведем полные уравнения баланса для этого объема, учитывая перенос
жидкости через граничную поверхность S. Согласно закону сохранения массы,
скорость изменения полной массы в объеме V, равной
Jpdy,
V
уравновешивается потоком через S. Если 1 - вектор внешней нормали к S, то
нормальная компонента скорости через S равна ljUj-, поэтому
- Г 9dV+ j pljUjdS = 0. (6.2)
V s
Аналогичным образом уравнение полного баланса для г-й компоненты
количества движения имеет вид
~ j рщ dV + | (рUilj-Uj-pi) dS = j рFt dV. (6.3) vs v
Первый член левой части описывает скорость изменения количества движения
жидкости в объеме V, второй - перенос количества движения через граничную
поверхность, третий - скорость изменения количества движения за счет
действующих на поверхности S напряжений pt, а выражение в правой части -
количество движения, порожденное силами, действующими в объеме V.
Плотность полной энергии (полная энергия, приходящаяся на единицу объема)
состоит из суммы кинетической энергии V2 ри(
Гл. 6. Газовая динамика
Ж
макроскопического движения и внутренней энергии ре молекулярного
движения. Уравнение баланса энергии имеет вид
41 (тР"? + ре)^ +
+1 { (у ры? + ре) IjUj-PiUt+ljqj }ds =
S
= j pFiUi dV. (6.4)
v
В интеграле по поверхности первый член снова соответствует вкладу
переноса жидкости через границу, второй - работе, совершаемой
напряжениями pt на границе, а третий - потере или приросту тепла эа счет
теплового потока через границу. Выражение в правой части соответствует
работе массовых сил.
Если параметры течения могут иметь разрывы, то необходимо-использовать
эти уравнения в интегральной форме. Для одномерных задач интегралы по
объему переходят в интегралы по х, скажем от х2 до хг, а интегралы по
поверхности сводятся к разности подынтегральных выражений в точках х2 и
xlt так что уравнения принимают вид (5.54), указанный выше при
рассмотрении ударных волн. Однако в большей части занимаемой жидкостью
области эти параметры будут непрерывно дифференцируемыми, так что можно
перейти к пределу, когда объем V стягивается к точке, и получить
соответствующие дифференциальные уравнения. В уравнениях
(6.2) - (6.4) дифференцирование по времени можно провести под знаком
интеграла по объему, поскольку V не зависит от t, а интегралы по
поверхности можно преобразовать в интегралы по объему при помощи теоремы
о дивергенции:
j ljVjdS= ( §-dV, (6.5)
S V 1
где Vj - произвольный непрерывно дифференцируемый вектор,
а V - достаточно гладкая область. Таким образом, уравнение-
(6.2) можно переписать в виде
( { T+"S7 (("J }dv~<>- (6.6"
V
Поскольку подынтегральное выражение непрерывно и уравнение
(6.6) выполняется для сколь угодно малого объема V, мы приходим к выводу,
что
4-+-4(pWi)==0-
(6.7)
6.1. Уравнения движения
147
(Если бы это выражение было отличным от нуля в какой-либо точке, то, в
силу непрерывности, оно сохраняло бы знак в некотором малом объеме V и
равенство (6.6) не выполнялось бы.) При подстановке выражения (6.1) в
уравнения (6.3) и (6.4) последние аналогичным образом приводятся к
следующему виду:
~ёГ (PUiUj ~ Pjt>= pFi (6-8)
и
( -§• put + ре) + ~ ри? + ре) иг- рпщ + q} } = рFtut.
(6.9)
При выводе формулы (6.1) обычно пользуются рассуждениями, которые по
существу являются первым приближением к (6.3). Если наибольшее расстояние
между точками, принадлежащими объему V, равно d, то величина объема V
представляет собой О (d3). Тогда, в силу теоремы о среднем, интеграл по
этому объему от любой непрерывной функции равен О (d3). Первый интеграл
по поверхности в уравнении (6.3) равен соответствующему интегралу по
объему, согласно теореме о дивергенции (6.5) и, следовательно, также
