Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 65

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 215 >> Следующая

неоднородной области. Рис. 6.1 остается
Гл. 6. Газовая динамика
168
справедливым, но траектория поршня заменяется этой граничной
характеристикой. Возникновение таких областей простой волны, прилежащих к
однородным областям, хорошо иллюстрируется задачей Коши в § 6.12.
6.9. Простые волны и кинематические волны
В § 2.2 мы видели, что уравнение неразрывности
Pt + Чх = 0 (6.80)
вместе с функциональным соотношением q = Q (р) приводит к простейшим
нелинейным волнам. Изучаемые сейчас простые волны имеют ту же природу.
Хотя в газовой динамике имеются три основных уравнения для трех величин
р, р, и, в частном случае простой волны существуют два интеграла
О гг 2f7 2 (70
и у-1 у-1'
Это означает, что два из основных уравнений можно исключить и любые две
из величин р, р и и можно представить как функции третьей. Таким образом,
приходим к одному уравнению, которое можно взять в виде закона
сохранения, связывающего поток и плотность.
Например, если мы захотим выразить все величины через р, то условие
изэнтропичности течения дает соотношение
р-№(иГ-
а инвариант Римана-соотношение
" = = = (6.81)
Затем можно использовать закон сохранения массы как замыкаю-
щее уравнение для определения р. Этот закон имеет вид (6.80) с q = ри.
Следовательно, в кинематической формулировке следует
взять уравнение (6.80) и уравнение
д = Q (Р) = РГ (р), (6.82)
где V (р) дается равенством (6.81). В этом случае функция Q (р)
получается из двух других дифференциальных уравнений, а не задается как
часть исходной формулировки задачи. Однако дальнейший анализ можно
проводить как в кинематической теории. Уравнение для р имеет вид
Рt + с (р) р* = 0, с (р) = Q' (р)"
6.9. Простые волны и кинематические волны
169
и можно проверить, что, в силу приведенных выше соотношений,
С (Р) = Q' (Р) = V (р) + рУ' (р) = У (р) + а (р).
В соответствии с проведенными выше рассуждениями отсюда следует, что
параметры течения постоянны на характеристиках и что характеристическая
скорость равна и + а-
В этом по существу состоит подход, использованный Эрншоу [1] в одном из
первых построений решения вида простой волны. Он рассматривал с самого
начала изэнтропическое течение и записал уравнения в виде
Р( + ир*+Р"* = 0,
, а2 (р) п
щ -)- uux -j - рж = 0.
Затем, основываясь на наблюдении, что для линеаризованной акустической
волны, движущейся вправо, и = а0 (р - р0)/р0, он рассмотрел возможность
существования точных решений с и = = У (р). В этом случае уравнения
принимают вид
Р* + (В + рУ') рж = О, (pt -f Урж) У' + - рж = 0.
Эти уравнения согласуются, если
причем оба они принимают вид
Pt + (У±а) Рх - 0.
Выбирая верхний знак, получаем
В(р)= |^dp=^{c(p)-eo},
Ро
что согласуется с полученными выше результатами. Риман [1] дал более
глубокое обоснование, которое мы приведем в следующем параграфе.
Выбор р в качестве основной переменной лучше согласуется с рассуждениями,
проведенными в гл. 2, но формулы проще записываются через и. При помощи
равенств (6.81) можно свободно переходить от одной переменной к другой.
Исходное уравнение для и имеет вид
Щ + + иж=0,
(6.83)
Гл. 6. Газовая динамика
170
а равенства
у |
а = а(Н-2-и' 5 = S0,
определяют р и р. Скорость распространения составляет с(и) = аа+У^1и.
Решение уравнения (6.83) строится так же, как и выше. В частности, для
задачи с поршнем решение дается формулами (6.76) и (6.77).
Таким образом, по крайней мере в случае простой волны профиль волны
становится многозначным, точно так же как в гл. 2, и для построения
полного решения следует вводить разрывы.
6.10.
Ударные волны
При опрокидывании волн реальные решения восстанавливаются введением
разрывов, и мы проделаем это, основываясь на общей точке зрения, развитой
в гл. 2. В области, где происходит опрокидывание, производные становятся
большими и, строго говоря, предположения (6.22) - (6.24) неприменимы. Но
реальное поведение обычно хорошо аппроксимируется введением разрывов,
удовлетворяющих надлежащим условиям, и сохранением предположений (6.22) -
(6.24) в области непрерывного течения. Впоследствии можно изучить детали
структуры ударной волны, учтя эффекты вязкости и теплопередачи.
Как указано выше, при формировании ударных волн следует пересмотреть
соображения, развитые для случая простой волны и приведшие к интегралам
S = S0, JO- u = 2S2- ,
у - 1 у--1 '
и необходимо вернуться к полной системе из трех уравнений.
Условия Да разрыве устанавливаются при помощи рассуждений, проведенных в
§ 5.8. Здесь существенно то, что мы работаем с уравнения"(r) вида законов
сохранения и что именно эти три уравнения соответствуют физическим
законам сохранения в интегральной форме. Для правильного выбора
необходимо вернуться к их исходной интегральной записи (6.2) - (6.4).
Ограничиваясь одним измерением и опуская массовые силы (хотя они не
меняют
6.10. Ударные волны
171
условия на разрыве), получаем
х|
| р dx 4- [рн]*' = 0, (6.84)
*2
Xi
j Рudx + [ри2 - ра]% = 0, (6.85)
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed