Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
третьего уравнения системы (6.49), так что обратимся к линеаризации
первых двух уравнений.
С точностью до членов выше первого порядка от малых величин (Р - Ро)/Ро.
(Р - Ро)/Ро> и/а0 и их производных имеем
-f+p"-(c)-0- <6-53>
<6-54>
(Когда невозмущенное состояние однородно, здесь и далее оставляются
производные от исходных величин - чтобы не усложнять запись и не
увеличивать количество индексов,- но при необходимости их можно перевести
в производные от возмущений.)
Из (6.54) следует равенство
П| = иГ(х) + -?-.^ Jte-Po)*,
о
где произвольные функции и[0> (х) появляются в процессе интегрирования.
Обычно в акустике их можно положить равными
нулю; например, это так, если ut = 0 в начальный момент или
если волны распространяются в область покоя. При этом вектор и является
градиентом скаляра. Введя потенциал скорости ф, определяемый условием и =
Уф, получим
"'=-§7* P-Po=-Po-w, Р-Ро=-§-4г> (6-55)
и равенство (6.54) выполняется тождественно. Уравнение для Ф получается
подстановкой этих выражений в (6.53) и является волновым уравнением
Фи = ao4)xixi, (6.56)
где а0 - скорость распространения. Можно заметить, что все возмущения в
(6.55) также удовлетворяют волновому уравнению.
Для одномерных волн уравнение (6.56) можно решить сразу,, что дает
Ф = / (ж - a0t) + g (х + a0t),
Гл. 6. Газовая динамика
160
где / и g - произвольные функции; соответствующие выражения для и и р -
До таковы:
Функции / и g выбираются так, чтобы выполнялись начальные или граничные
условия. Мы отложим рассмотрение конкретных примеров, поскольку для
плоских волн поддаются решению полные нелинейные уравнения и некоторые
линеаризованные результаты можно рассматривать как приближение этих
точных решений. Двух- и трехмерные решения волнового уравнения будут
рассматриваться в гл. 7.
Практически в любой задаче акустики действуют силы тяжести, и вследствие
этого невозмущенное состояние неоднородно. В задачах о распространении
акустических волн на большие расстояния в атмосфере или океане этот факт
может оказаться решающим и привести к усилению и рефракции этих волн.
Даже когда предыдущая теория справедлива, то это не столько потому, что
весь гравитационный член рg пренебрежимо мал, а скорее потому, что
величина его возмущения мала по сравнению с другими возмущениями.
Невозмущенные давление и плотность должны удовлетворять уравнению
где z - вертикальная координата. Поскольку изменения давления и ускорения
в акустических волнах могут быть чрезвычайно малы, два члена из (6.58)
могут оказаться наибольшими членами в уравнении сохранения вертикальной
компоненты импульса. Но так как они уравновешивают друг друга, то их
дальнейшим влиянием на уравнения для возмущений можно пренебречь.
Рассмотрим подробнее распространение плоских волн в вертикальном
направлении. Положим р = ро (z) + Pi, р = Ро (z) + Pi, и = (0, 0, w),
подставим зти значения в (6.49) и отбросим квадратичные и другие члены
высших порядков по рг, р1? w; тогда мы получим
В общем случае в равновесном состоянии энтропия распределена неоднородно,
так что следует учитывать изменение энтропии и определять а2 так, как
указано в (6.48).
Из (6.58) следует, что для изменений равновесных величин характерны
большие пространственные расстояния L порядка
и = /' (х - a0t) + g' {X + a0t),
- f (x - a0t) - g' (г-f a0t).
(6.57)
(6.58)
Pn -f- "'Po + po wz - 0,
PoWt + Po + Plz = - Pog- Pig.
Pli + wp'o-a20 (ph + wp'0) = 0.
(6.59)
6.6. Акустика
161
al/g. Если Рх = О (вро) и Я - характерная длина волны возмущения, то
*0 = 0 (-Т-). Piz = 0 ( ) •
В то время как Я/Д может иметь порядок 10-4, амплитуда е легко может быть
равной 10 "4 или еще меньше, так что градиенты основного состояния р'0
могут оказаться больше, чем градиенты plz, создаваемые акустическими
волнами. Однако члены р'0 и -prig в (6.59) взаимно уничтожаются и все
оставшиеся члены пропорциональны р. Члены p2g, ivPi,, wp'(, имеют
дополнительный множитель Я/Д. Следовательно, за исключением случаев
распространения на расстояния, сравнимые с Д, эффекты неоднородности
будут малы. Вместо того чтобы делать дальнейшие оценки, проще рассмотреть
некоторые точные решения уравнений (6.59).
Исключая в (6.59) pj и и снова используя (6.58), получаем
U'tt - alwzz + -Р-'^ "!2.
0 22 ^ Ро
Это уравнение гиперболическое, и характеристические скорости равны ±"о
(2)- В случае неоднородной атмосферы а0 продолжает оставаться скоростью
звука в этом точном смысле. Для политроп-ного газа а\ = ур0/р0, так что
(р0Яо)' = УРо = -УРоё и уравнение сводится к
wit = "0 Wzz - ygwz.
Изотермическое равновесное состояние
Для постоянной равновесной температуры а% постоянна и (6.58) дает
экспоненциальную атмосферу
Po (z) = Ро (0) e~z/H, Н = *р> = ?.
Уравнение для w имеет периодические решения w = cos (kz- Ы),
Изменение амплитуды мало, если z Н и со2 ~ а2Я2 при Я2///2 <^;
1. Это решение подтверждает предыдущие оценки.
Конвективное равновесное состояние
В конвективном равновесном состоянии энтропия постоянна и р со pv. Из
