Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(6.58) имеем
1 dp0 _ ag dp0 _ 2 da0 _
Po dz Po dz у- 1 0 dz
Гл. 6. Газовая динамика
162
откуда
ао (2)= ао (0) - ("V - 1) ffz-
Конечно, зто распределение имеет смысл только для высот, меньших а%
(0)/(у - 1) g. Решения для w выражаются через бесселевы функции (Г. Лэмб,
[1], стр. 685); можно сделать и аналогичные выводы об эффектах
неоднородности.
Некоторые вопросы, касающиеся рефракции неплоских волн, будут рассмотрены
в § 7.7, другие можно найти в книге Г. Лэмба [1], стр. 686-703.
6.7.
Нелинейные плоские волны
Рассмотрим теперь точные нелинейные уравнения для одномерного течения в
случае, когда массовыми силами можно пренебречь. Поскольку сейчас мы
интересуемся большими изменениями давления, во многих приложениях можно
полностью пренебречь влиянием силы тяжести.
Уравнения (6.49) принимают вид
Pt + Щх + Рих = 0, (6.60)
р (щ + иих) + Рх = 0, (6.61)
Si + uSx = 0, (6.62)
где р (р, S) - известная функция. Последнее уравнение можно также
записать в виде
Pt + ирх - я2 (Р" + иРх) = 0, (6.63)
где
а2=(_|?) . (6.64)
\ др / S=const
Для изучения нелинейных волн уравнения приводятся к характеристической
форме при помощи процедуры, описанной в § 5.1. Вместо того чтобы
пользоваться готовыми формулами, быстрее вывести характеристические
уравнения непосредственно из (6.60) - (6.63). Заметим прежде всего, что
уравнение (6.62) уже имеет характеристическую форму с характеристической
скоростью и. Отсюда
dS dx
-^- = 0 на характеристиках -^-= и. (6.65)
Эти характеристики являются траекториями частиц, и S постоянна на каждой
из них.
Два других семейства характеристик удобнее всего получить, используя
уравнения (6.60), (6.61) и (6.63). Достаточно рассмотреть
6.7. Нелинейные плоские волны
163
следующие линейные комбинации: произведение 1г на (6.60) плюс
произведение 12 на (6.61) и плюс (6.63). После преобразования такая
комбинация принимает вид
Pt + (и + h) рх + р?" (щ + иих) +
Случай 1Х - 12 = 0 отвечает уже найденной характеристической форме
(6.65). После того как этот случай исключен, из сравнения членов с р и р
видно, что единственное возможное характеристическое уравнение с 12 0
получается при отсутствии производных
от р, откуда 1г = а2. Тогда, сравнивая производные от р и от и, получаем
l2 - ljl2- Таким образом, 1г = а2, 12 = ±а и искомые комбинации имеют вид
Pt + (и ± а) рх± ра {щ + (и ± а) и*} = 0. (6.66)
Полная система характеристических уравнений имеет вид
Характеристики С+ и С_ описывают точки, движущиеся со скоростью ±а
относительно газа, имеющего локальную скорость и. Это акустические волны,
и величина а, определяемая равенством (6.64),. отождествляется с
нелинейной скоростью звука.
В линеаризованной теории эти уравнения аппроксимируются следующим
образом:
Если энтропия не изменяется, то эти равенства согласуются с ре? шением
(6.57).
+ РкЦх + (h - а2) (Рt + ирх) = 0.
(6.67)
(6.68)
(6.69)
на а0,
на - &о.
Г) {tz? А
на Р: -= 0 at
и немедленно интегрируются, давая
(р - Ро) + PofloM = F (х - а4) (Р-Ро) - РоОоИ = G(x + a0t), S-S0 = H(t).
(6.70)
Гл. 6. Газовая динамика
164
В нелинейной теории соотношения, определяющие характеристики, зависят от
решения, которое еще следует найти, и интегрирование так непосредственно
не проводится.
Для изэнтропического течения S = const всюду, так что уравнение (6.69)
можно опустить. Кроме того, р = р (р), а2 = р' (р), и поэтому первые два
характеристические уравнения можно записать в виде
f а (р) dp . . " dx
J -~- + и = const на C+: - и -f a,
С a (p) dp . " dx
i -u== const на C_: - = u-a.
J P dt
Это инварианты Римана. Для политропного газа
р = xpv, а2 = xypv_1
л инварианты Римана равны
2 dx
±u= const на -rr = u±a. (6.71)
у - 1 - dt - ' '
6.8. Простые волны
Если один из инвариантов Римана для изэнтропического течения остается
всюду постоянным, то решение чрезвычайно упрощается.
Рис. 6.1. Волна разрежения, возникающая при вытягивании поршня.
Это соответствует распространению волны только в одном направлении, и в
линейной теории в равенствах (6.70) было бы либо F = 0, либо G = 0. В
качестве основной модели, иллюстрирующей образование простой волны такого
типа, рассмотрим волны, создаваемые заданным движением поршня на конце
длинной трубы. На рис. 6.1 приведена соответствующая (ж, ^-диаграмма.
Если
6.8. Простые волны
165
не возникают разрывы, нарушающие выводы, следующие из дифференциальных
уравнений, то можно утверждать, что течение должно описываться простой
волной. Для простоты рассуждения проводятся для политропного газа, но
распространение на более общий случай очевидно.
Предполагается, что в области х ^ 0 при t - 0 газ находится в состоянии
покоя с и = 0, а - а0, S - S0, и, как уже говорилось, разрывы временно не
допускаются. Поскольку поршень сам движется по траектории частицы, ясно,
что траектории всех частиц начинаются на оси х в однородной области. В
силу (6.69), S постоянна на траектории каждой частицы Р и, следовательно,
равна своему начальному значению S0. Но начальные значения одинаковы для
